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» On conçoit qne ces particularités pourront être plus variées dans les 

 courbes d'ordre supérieur, que dans les simples coniques, parce que les 

 premières peuvent avoir des branches multiples, de divers ordres de multi- 

 plicité, des points multiples, des tangentes multiples, des tangentes d'in- 

 flexion, etc., dont il faut tenir compte dans chaque démonstration. 



» Les deux théorèmes suivants paraissent répondre à la question que 

 nous avons posée. 



» Théorème I. — 5/ toutes les courbes d'un système (y., v) d'ordre m sont 

 douées de points multiples d'ordre r' dont le lieu soit une courbe d'ordre r, et 

 qu'en outre, une courbe du système soit formée de deux courbes distinctes, dont 

 une } d'ordres, soit multiple d'ordre s' (c'est-à-dire, soit l'ensemble de s' courbes 

 égales et coïncidentes), on a In relation 



2{J.(m — i) — v == /'(/'' — i) + s(s' — i). 



« On conçoit que toutes les courbes d'un système puissent avoir un point 

 multiple du même ordre r', soit que cette condition se trouve explicitement 

 dans l'énoncé des conditions qui constituent le système, soit qu'elle dérive 

 implicitement de ces conditions. Tous ces points multiples d'un même ordre 

 seront évidemment sur une courbe d'un certain ordre r. 



» Si les courbes ne satisfont pas toutes aux conditions qu'implique un 

 point multiple de même ordre, on aura /'=o. Si, au contraire, elles ont 

 toutes un second point multiple d'ordre r\ , dont le lieu soit une courbe 

 d'ordre /,, il entrera dans le second membre de l'équation un terme 

 r, (/'', — i). Pareillement, s'il n'y a pas de courbe qui ait une branche mul- 

 tiple, on aura .y = o; mais s'il y a plusieurs courbes qui aient chacune une 

 branche multiple, il entrera dans le second membre autant de termes tels 

 que s (s' — i). 



» Théorème II. —Lorsque toutes les courbes d'un système ([x, v) d'ordre m 

 sont douées d'un point multiple d'ordre r, et que d courbes ont en outre un point 

 double, et d' courbes un point de rebroussement; si les courbes ont toutes des 

 tangentes multiples d'ordre t' dont l'enveloppe soit une courbe de la classe t, et 

 toutes des tangentes d'inflexion, dont l'enveloppe soit une courbe de la classe i, 

 on aura la relation 



av[/ra 2 — m — i — r(r — i)j — \x = r/+ o.d' 4- t[t' — i) -+- 21. 



» Si les courbes n'ont pas toutes le point multiple d'ordre r que suppose 



l'énoncé du théorème, on fera r = o. Si quelque courbe a un point mul- 



. , , , , , . , , »{v — i ) 

 tiple d ordre v, on regardera ce point comme équivalent a points 



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