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 doubles, et le terme — entrera dans le second membre de l'équation. 



» On reconnaît immédiatement que, dans le cas d'un système de co- 

 niques, le premier théorème exprime que (2p. — v) est le nombre des 

 coniques infiniment aplaties, et le second, que (av — p.) est le nombre des 

 coniques à point double, c'est-à-dire des coniques représentées par deux 

 droites. 



» On peut démontrer ces théorèmes de bien des manières, comme je l'ai 

 dit pour les sections coniques, et par les mêmes considérations (*) : il suffit 

 de prendre un théorème connu, et de chercher à le démontrer par un rai- 

 sonnement qui introduise des solutions étrangères, dont on détermine ainsi 

 les causes, le nombre et l'expression. 



» Démonstration du théorème I. — On sait que le nombre des courbes 

 du système (p,v) qui touchent une conique U est 'i(p.-hv) (**). Cher- 

 chons ce nombre par les considérations suivantes : Par un point x de U 

 passent p. courbes, qui rencontrent U en p. (a//z — 1) points u. De même, 

 par un point u passent p. courbes qui rencontrent U en p.(2in — 1) points x. 

 Il existe donc ip. (im — 1) points x qui coïncident chacun avec un point u 

 correspondant. Ces points de coïncidence appartiennent en général à des 

 courbes tangentes à U; mais un certain nombre proviennent de deux 

 causes différentes : ces points étrangers à la question se trouvent sur les 

 combes d'ordre r et d'ordre s, dont la première est le lieu des points mul- 

 tiples des courbes du système, et la seconde est une branche, multiple 

 d'ordre s', d'une de ces courbes. En effet, soit x un point d'intersection de 

 la combe d'ordre s et de la conique U. Par ce point passe une courbe à 

 point multiple d'ordre r' qui rencontre U en -2.(im— 1) points u, dont 

 (/•' — 1) coïncident avec x. Ainsi, il y a en ce point (/"'— t) points de coïnci- 

 dence de x et de u étrangers à la question; ce qui lait 2r(r' — 1) solutions 

 étrangères, à raison des iv points d'intersection de la courbe d'ordre/- et 

 de U. 



» Pareillement, soit or un point de la courbe d'ordre s; cette courbe est 

 multiple d'ordre s'; elle a donc (.s' — 1) de ses points n, d'intersection 

 avec U, coïncidant avec x; ce qui fait encore sur U 2s(s' — 1) points 

 étrangers à la question. En tout donc, ir (V — 1) 4- 2 s [s' — 1). 



» Ainsi l'on a 



o.p.{p.m— 1) = a(fA-l-v) + 2/'(;'— 1) -+- 2s(s' — 1); 



(*) Comptes rendus, t. LVIII, p. 3oo. 

 (**) Comptes rendus, t. LVIII, |>. I 1^3. 



