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d'où 



2p. [m— i) — v = r (r' -i)-i-i(/- i). 



G. Q. F. D. 



» Autrement. Au lieu de chercher le nombre des courbes tangentes à une 

 conique U, on peut chercher le nombre des courbes tangentes à une droite, 

 lequel est v : le raisonnement est absolument le même, et conduit immé- 

 diatement à la formule. 



» Autrement. Une droite D étant donnée, le lieu des points qui ont 

 cette droite pour axe harmonique dans toutes les coniques est une courbe 

 de l'ordre v, parce que cette courbe a v points sur la droite D, qui sont 

 les v points de contact des v courbes du système tangentes à D. Cherchons à 

 déterminer directement le nombre des points de la courbe qui se trouvent 

 sur une droite quelconque L. On sait que le point qui a pour axe harmo- 

 nique une droite D, dans une courbe donnée, se trouve à l'intersection des 

 polaires de deux points quelconques de la droite. Soient O, O' ces deux 

 points. Par un pointer de la droite L, passent p. polaires du point O, relatives 

 à p courbes (parce que par ce point O lui-même passent p. polaires, savoir, les 

 polaires des p. courbes qui passent par O). Les polaires de O' relatives aux 

 p courbes rencontrent L en p (m — i) points n, qui correspondent ainsi au 

 point x. De même, à un point u correspondent \J.{in — i) points x. Donc 

 il existe ap(/?i — i) points x qui coïncident chacun avec un point u corres- 

 pondant. Ces points sont en général des points d'intersection de deux po- 

 laires de O et de O', relatives à une même courbe du système : ce sont 

 conséquemment des points du lieu cherché, c'est-à-dire des points qui ont 

 pour axe harmonique la droite D ou 00'. Leur nombre serait donc 

 2p (m — i); tandis qu'il est réellement v. Il y a donc 2p (m — i) — v 

 solutions étrangères, dont voici la cause. 



» La droite L rencontre la courbe d'ordre r, lieu des points multiples 

 d'ordre r' des courbes du système, en r points. Soit x un de ces points. 

 Par ce point passent tout à la fois la polaire du point O relative à la courbe 

 qui a un point multiple en x, et la polaire du point O' relative à la même 

 courbe; et cette polaire ayant en ce point x, comme on sait, un point 

 multiple d'ordre (r' — i), coupe L en (r' — i) points u qui coïncident avec x. 

 11 y a ainsi (r'— i) coïncidences en chacun des r points d'intersection de la 

 courbe d'ordre r et de L; ce qui fait r [r' — i) solutions étrangères. 



» En outre, la droite L rencontre la branche d'ordre s, multiple d'or- 

 dre s', en s points. Soit x un de ces points. Par ce point passe la polaire 



