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 de O relative à la courbe a laquelle appartient cette branche d'ordre s, et 

 passe aussi la polaire de O' relative à la même courbe. Or, cette polaire est 

 une courbe douée d'une branche multiple d'ordre (s' — i) coïncidente avec 

 la branche de la courbe, et qui, dès lors, donne (s' — i) points u coïnci- 

 dant avec x. Ce qui fait encore s (s' — i) solutions étrangères. Le nombre 

 des points de coïncidence de x et de u étrangers à la question est donc 

 r(r' — i) -+- s (s' — i); et dès lors, on a 



2 p. ( m — i ) — v = r ( /•' — l ) 4- s (/ — j ). 



» Autrement. On sait que les tangentes menées d'un point fixe aux 

 courbes du système ont leurs points de contact sur une courbe d'ordre 

 ([j. + v). Démontrons ce théorème comme suit. Les tangentes menées d'un 

 point Q à une courbe ont leurs points de contact sur la polaire de ce 

 point, relative à la courbe. Le lieu des points de contact des tangentes 

 menées aux courbes d'un système ([x, v) est donc le lieu des points de 

 rencontre de ces courbes et des polaires du point Q. D'après cela : par 

 un point x d'une droite L passent \x courbes ; les polaires du point Q 

 relatives à ces courbes coupent L en \x (m — i) points u. Par un point u 

 passent \x polaires, et les courbes auxquelles elles se rapportent coupent L 

 en m[x points x. Il existe donc p.(m — i) -f- mp. = [x [im — i) points x 

 qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Ces points sont les 

 points de contact cherchés, abstraction faite de ceux qui forment des solu- 

 tions étrangères. Ceux-ci sont: i° les points de la courbe d'ordre r, lieu 

 des points multiples d'ordre /''; en chacun de ces points, la courbe polaire 

 d'une des courbes qui y passent a un point multiple d'ordre (r' — i), 

 comme il a été dit ci-dessus, et donne donc (/•' — i) points u coïncidant 

 avec le point .r; ce qui fait /'(/'' — i) solutions étrangères; i° les points 

 de la courbe d'ordre s, multiple d'ordre a' ; le point x étant en un de ces 

 points, la polaire de la courbe à laquelle appartient cette branche multiple 

 a elle-même une branche multiple d'ordre (s' — i) coïncidant avec la pre- 

 mière, qui donne donc [s' — i) points u coïncidant avec le point x; ce qui 

 fait encore s (s 1 — i) points étrangers. Donc 



(x(2m — i) = (/x + v) + ;■(/''— i) + s (s'— i); 



d'où 



i[j. (m — i) — v = /' (;■' — i) -t- s (s' — i). 



» Démonstration du théorème II. — Dans le système ([X, v), [i courbes 

 passent par un point quelconque. Cherchons ce nombre \x par le raison- 



