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 nement suivant. Une droite Ix menée par un point I est tangente 

 à v courbes. Ces courbes ayant toutes un point multiple d'ordre r, par 

 hypothèse, on peut leur mener, parle point 1, v [m [m — i)— i — /•(/■ — i )] 

 autres tangentes lu. 



» De même, à une droite lu correspondent v[m(m — i) — i — r (r — i)l 

 droites Ix. 



» Donc, il existe 2 V [m (m — t) — i — r (r — i)] droites Ix qui coïncident 

 chacune avec une droite ïu correspondante. Ces droites sont tangentes à des 

 courbes passant par le point I, à l'exception des droites appartenant à des 

 solutions étrangères. Celles-ci sont causées par les points doubles et de 

 rebroussement des courbes du système, par leurs tangentes multiples et 

 leurs tangentes d'inflexion. Si une courbe a un point double, la droite Ix 

 qui passe par ce point coïncide avec une des droites lu qui lui correspon- 

 dent; donc d points doubles introduisent d solutions étrangères. Si une 

 courbe a un point de rebroussement et que la droite \x passe par ce point, 

 deux des droites lu correspondantes coïncident avec Ix. Donc d' points 

 de rebroussement causent W solutions étrangères. Si les tangentes mul- 

 tiples d'ordre t' des courbes du système enveloppent une courbe de la 

 classe t, il passe par le point I t tangentes multiples, et chacune d'elles 

 étant prise pour Ix, il lui correspond (t'—ï) droites lu qui coïncident 

 avec elle, ce qui fait t(t' — i) droites étrangères à la question. Les tangentes 

 d'inflexion des courbes du système enveloppent une courbe de la classe i; 

 par le point I passent donc i de ces tangentes. Si l'une est prise pour lx, il 

 lui correspond deux tangentes lu qui coïncident avec Ix, ce qui fait encore 

 ii solutions étrangères. On a donc l'équation 



2V 



[m (m — i) — i — r(r — i)] = p. -w/+ id'+ t\t'—i) + 2/; 



ou 



2v[in 2 — m — i — r{r — 1)] — p. = d -+- id'-¥t{t'— 1) + ii. 



C. Q. F. D. 



» Dans un système de coniques, m= 2, r = 0, f/' = o, 2 = 0, ï' = o; et 

 il vient 



2V — [J. = d. 



C'est le nombre des coniques à point double, c'est-à-dire des coniques 

 représentées par deux droites. 



» Autrement. Cherchons par les considérations suivantes le nombre 2 (a+v) 

 des courbes qui touchent une conique U. La tangente en un point x de l 



