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 touche v courbes du système, dont chacune a 2 [m (m — 1)-— /'(r— il] — ] 

 autres tangentes communes avec U ; appelons u leurs points de contact 

 avec U; il y aura ainsi vj 2 [m(m — 1)— r(,r — 1)] — 1 { points u correspon- 

 dants au point x. Pareillement, à un point u correspond un pareil nombre 

 de points x. Donc il existe av j 2 [m(m — 1) — r(r — 1)] — 1 \ points .r qui 

 coïncident chacun avec un point u. Ces points sont les points de contact 

 des courbes du système et de U, abstraction faite de certains points qui 

 s'y trouvent comme solutions étrangères. Ceux-ci sont dus aux points 

 doubles et de rebroussement des courbes du système, à leurs tangentes 

 multiples et à leurs tangentes d'inflexion. 



» i° Si une courbe a un point double, par ce point passent deux tan- 

 gentes de U qui comptent pour quatre tangentes communes à la courbe et 

 à U; c'est-à-dire que chacune des deux tangentes compte pour deux tan- 

 gentes de U, et donne lieu à un point de coïncidence de x et de u, ce qui 

 fait donc une solution étrangère, et deux pour chaque point double; donc 

 id pour les d points doubles. 



» i° Si une courbe a un point de rebroussement, par ce point passent 

 deux tangentes de U qui comptent chacune pour trois, et causent deux 

 points u coïncidant avec un point x : ce qui fait quatre solutions étran- 

 gères pour chaque point de rebroussement, et l\d' pour les d' points de 

 rebroussement. 



» 3° Les tangentes multiples des courbes du système sont d'ordre t! , et 

 enveloppent une courbe de la classe t, qui a donc it tangentes communes 

 avec U. Chacune de ces tangentes touche U en un point .r, par ce point 

 passent (t'—i) autres tangentes coïncidant avec la première, et qui don- 

 nent donc (t'—i) points u coïncidant avec x, ce qui. fait (£'— 1) solutions 

 étrangères, et it(t' — 1) pour l'ensemble des it tangentes de U. 



» 4° Les tangentes d'inflexion des courbes du système enveloppent une 

 courbe de la classe i, qui a donc 2/ tangentes communes avec U. Une de ces 

 tangentes, qui touche U en x, est considérée comme coïncidant avec deux 

 autres tangentes de la courbe, au même point d'inflexion; il y a donc deux 

 points u coïncidant avec x, ce qui fait deux solutions étrangères, et, par 

 conséquent, f\i, à raison des 2/ tangentes de U. 



« Ainsi l'on a l'égalité 



iv j 2 [m [m— 1)— /•(/• — \j] — 1 j = 2(/jl -+- v) + 2r/ + !\d'-h2t(l'— i)-t-4'î 



ou 



2v[m [tu — 1) — i — /• (/■ - ■ i) ] — \). = d -1- -?.d'-\- 1 (/'— 1) -+- 2 i. 



