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 » autrement. Si d'un point Q on mène des tangentes aux courbes du sys- 

 tème, et par les points où ces tangentes rencontrent une droite D d'autres tan- 

 gentes : celles-ci enveloppent une courbe de la classe 



v j 2 [m(m — i) — /'(/' — i)] — i ['. 



» Par conséquent, v | 2 [m {m — f) — r(r— i)] - i | tangentes de la courbe 

 doivent passer par le point Q. Ces tangentes sont : i° les [p. + v) qui ont 

 leurs points de contact sur la droite D; 2° les droites menées aux d points 

 doubles que possèdent les courbes du système ; les droites menées aux 

 points de rebroussement, dont chacune donne lieuà deux tangentes passant 

 par Q, ce qui fait ad' tangentes; 3° les t tangentes multiples qui passent 

 par Q, dont chacune donne heu à (f — i) autres tangentes passant aussi 

 par Q, ce qui fait t[t' — i); 4° enfin, les i tangentes d'inflexion qui passent 

 par Q, dont chacune donne lieu à deux tangentes passant aussi par Q, ce 

 qui fait ai tangentes. On a donc 



— r(r— i )] —i j = [J. -+• v -+-d + id'-\- t[t' — \) -+- ai; 



v i 2 f»i ( m — r 



ou 



2v[ra a — m — i— /■(/• — i)] — [J. = d -i- 2d'-h t(i'~i) + ii. 



C. Q. F. D. 



» Observations. — Les théorèmes que nous venons de démontrer éta- 

 blissent deux relations générales entre les deux caractéristiques d'un système 

 de courbes d'ordre m, et certains éléments ou particularités r, r',s, s',d, .. 

 inhérentes au système. 



» Lorsqu'une caractéristique est connue à priori, chacune des deux rela- 

 tions suffit pour déterminer l'autre, mais dans le cas seulement où l'on 

 connaît les éléments qui entrent clans l'équation, ce qui malheureusement 

 n'a pas lieu en général, caries conditions qui déterminent un système ne 

 font point connaître aisément les particularités diverses du système. 



» Du reste, si ces particularités étaient connues toutes, on en conclurait 

 immédiatement les deux caractéristiques du système, au moyen des deux 

 équations où elles entrent. Cela peut arriver dans quelques questions de la 

 théorie des coniques; on en trouve un exemple très-remarquable dans un 

 Mémoire d'un jeune et habile géomètre de Copenhague sur les contacts 

 multiples que les systèmes de coniques peuvent avoir avec des courbes 

 d'ordre supérieur (*). 



(*) Mémoire de M. Zeullicn ( Coin/ jIïs rendus, séance du 22 janvier 1866; t. LXII, p. 177. 

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