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MÉMOIRES PRÉSEXTÉS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur les fondions de Sturin ; 

 par M. Pu. Gilbert. 



(Commissaires : MM. Serret, Bonnet.) 



« Soit 



X = ce" + p t x"-' +. . . 4- p n = o 



une équation de degré n ; soient a, b, . . . , l ses racines, et 



R = a .r»-' + |S Je"- 2 -4- y X»"' + . . . + X , 

 R, = «, .*■"-' -+- p, x"- 2 -+- 7, cc"~" -h . . . + X, , 



R„_. = a, 



fV,^- 2 + 7»-.^ 3 +...+ V,, 



72 fonctions de degré « — i se déduisant toutes de la première R , laquelle 

 n'est autre chose que la dérivée X, de X, par la suite d'équations : 



R, = ,rR — <z X , R 2 = _rR, — a, X, . . . , R„_, = xl\ n _ 2 — a„_ 2 X. 



Toutes ces fonctions R, se calculeront donc avec une grande rapidité, et l'on 

 a d'ailleurs 



R. 



» Cela posé 



» i° On aura en général 



2 — x. 



^ x — a 



a*- = 2X- 



En d'autres termes, les coefficients u , a,,..., a„_, sont les sommes des puis- 

 sances semblables des degrés o, i , . . . , n — i des racines de l'équation proposée. 

 » 2° En appelai)! \, \,, \ 2 ,..., X„ les fondions de Sturm, ou plutôt 

 celles de M. Sylvester, qui n'en différent que par des facteurs constants 

 positifs, nous aurons 



X, = R = a x n -* + /3 .r"- 2 + . . . + X , 



«<>, &> 7 u x"- 3 + . ,.H-X 

 X, = 



«o> C J °' X "~ + • • ■ -t- X 

 a,, ['j s x"~ 2 4-...+ X, 



x,= 



«n f3o 7iX"- 8 + ... + X ( 

 «as /3 3 , 7 2 x"- 3 + . . .-f-X s 



