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et enfin 



X„ = 



««-* 



/3m 



Pn-t 



7o,. 

 y.,. 



y«- 1 j 



>, 



» Ces formules fournissent un moyen facile à retenir, et très-rapide dès 

 que l'on a un peu d'habitude du calcul numérique des déterminants, pour 

 obtenir les fonctions sturmiennes par desimpies multiplications. Elles per- 

 mettent même, aussitôt que les fonctions R,- sont calculées, d'écrire immé- 

 diatement le terme affecté d'une puissance quelconque de x, dans l'une 

 quelconque des fonctions X,, indépendamment de tous les autres termes. 

 Les formes diverses données par MM. Sylvester, Cayley, Brioschi, Hermite 

 se déduisent sans peine des formules précédentes, ainsi que les expressions 

 des facteurs par lesquels il faut multiplier les fonctions X, pour passer aux 

 fonctions de Slurm. 



» 3° Le dernier terme H de l'équation aux carrés des différences des racines 

 de l'équation X=o, ou le produit de ces carrés, se déduit aussi du calcul 

 des fonctions R,, puisque l'on sait (Journal de Liouville, t. VII, p. 368) que 

 ce dernier terme ne diffère pas de la dernière fonction X„ de M. Sylvester. 

 On a donc 



a o j p , . . . , / 



«,, â , X, 



H = 



M «— I ) l J H—l 1 • • • J A H— I 



» Appliquons cette méthode à l'équation du troisième degré 

 x 3 4- px 2 + qx -+- /' = o ; 



u v 



ient immédiatement 



R = 3.r 2 + spx -+- q, 



R, = — px 2 — %qx — 3/', 



R 2 = [p 2 — 27) x 2 + (pq — 3r) x -h pi, 



d'où 



II 



3 > — ?■> P~ — 2 '1 

 a/7, — 27, pq — 3/' 



<h —3/', pr 



3, 



P> a< 7' 



2j), 2</, pq -h 3/' 

 (U 3r, <i\ 



'h 



ipr 



iSpqr — 27 r 2 -t- p-<j- — /!/-»'/' — ■':'['■ 



