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 sans être toutes satisfaites par le système infiniment voisin qui suit immé- 

 diatement. 



» Ceci revient à dire que les différentielles totales successives des pre- 

 miers membres des proposées, jusqu'à l'ordre A' exclusivement, devront être 

 identiquement nulles, ou encore que les différentielles successives des in- 

 connues x,, x 2 ,..., x„, jusqu'à l'ordre A - exclusivement, doivent être les 

 mêmes, de quelque manière qu'on les déduise des équations (i). Ce der- 

 nier point de vue est précisément celui qu'on emploie dans la théorie de 

 l'oscillation des courbes. 



» Condition générale pour l'existence d'une solution multiple. — D'après la 

 définition adoptée pour que [x,, x 2 ,...,x„) soit une solution multiple, 

 sans spécifier le degré de multiplicité, il faut et il suffit que les proposées 

 soient satisfaites en même temps que 



do, t dw t . 



-r~ dx, -+- -r- dx., 



dx, il.r. 



{*) 



d tp 2 / 



-r- (IX. -t- -r- dx n -+- 



de 

 dx. 



+ '-7~ dx n = O, 

 a .t , { 



do. , 



4- ~ dx n = o, 



(lu- „ 



è*. + 



do» 



(ÛVn + ...-+- -7^- dX lt = O 



do» 



dx„ 



Ces équations déterminent les rapports des différentielles dx, , dx 2 ,. .., dx n , 

 et l'élimination de ces mêmes différentielles donne la condition finie 



e = 



do, 

 dx, 



dj: 



dx, 



a »„ 

 dx, 



dx t 



do% 

 d.v, 



do» 

 dx 2 



df, 

 dx„ 



d<?i 

 dx. 



d.r„ 



= O. 



Ainsi la condition nécessaire pour l'existence d'une solution multiple 

 (.r,, ,r 2 ,..., x„), abstraction faite du degré de multiplicité, est que ce sys- 

 tème de valeurs des inconnues annule les proposées et leur déterminant 

 fonctionnel. 



» Réciproquement, si un système de valeurs (.r,, x. 2 ,..., x„) annule les 

 proposées et leur déterminant fonctionnel, cette solution sera multiple poul- 

 ies proposées, en mettant de côté quelques cas singuliers dont il sera dit 

 un mot. En effet, si l'on écrit les équations (2) en y considérant dx,, 



