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</.r .,,..., d.r n comme des inconnues, ces équations seront compatibles à 

 cause de l'hypothèse = o. On pourra donc en tirer des valeurs déter- 



. , dx t d.r , dx n 7,1». .,-.. . ... 



minées pour -^-j -j— >•*'•> -t-> dt désignant un infiniment petit arbitraire; 

 et par suite, en adoptant ces accroissements, on aura 



ç>, (.r , -f- dx, , x 2 -+- dx a , . . . , x„ -+- dx„ ) = o, 



f„(x, -+- dx,, x 2 + rfr 2 , . . ., jr„ ■+- <7.r„) = o, 



c'est-à-dire que (x,, x a ,..., x n ) sera pour les proposées une solution multiple 

 au moins du second ordre. Ceci suppose qu'aucun des déterminants partiels 

 que l'on rencontre en résolvant (« — i) équations du système (2) par rap- 

 port à dx,, dx 2 ,..., dx„ n'est égal à zéro, ou, autrement, que l'on peut dé- 

 duire de n — 1 quelconques de ces n équations des valeurs déterminées et 



finies pour — W — ->•••) -r 1 - On peut donc, sous cette supposition restric- 

 1 ilt ilt dt ' ' r 



tive qui sera maintenue dans ce qui suit, énoncer le théorème suivant : 



» Théorème I. — Pour que (x,, x a , . . . , x n ) soit une solution multiple 



des équations 



<?< = », ?a = O,..., (?„ = o, 



il faut et il suffit que ce système de valeurs des inconnues annule les proposées et 

 leur déterminant fonctionnel. 



» Sur le degré précis de multiplicité. — En désignant par t j le déterminant 

 partiel obtenu par la suppression, dans 0, des dérivées partielles relatives 

 à Xi et de celles qui se rapportent à la fonction <j> y -, on tire des équations (2), 

 en mettant pour un moment de côté l'équation dfj = o, 



et en substituant ces valeurs dans l'équation identique 



U - "^ dx, + " v dx, -+-••• + U ".J dx n 



on aura 



_ rf^- ilx^ dy dx, + d<fj dx K ; 



ce qu'on peut écrire = < -^ L -, en entendant que la dérivée totale par rap- 



C. R., 18CG, 1" Semestre. (T. LXII, N» 8.) Ju 



