( 386 ) 

 port à t est prise en considérant x n x 2 , . . ., x n comme des fonctions de 



cette variable auxiliaire définies par les équations (3). L'équation = -~ 



donnera donc, dans le même sens, 



d h ->0 _ d h <fj 



(4) 



A*-' " " dl k 



» De là on conclut que, si pour le système de valeurs (x,, .r 2 , . . ., x„), 



on a 



a>, = o ] do t = o \ d ! '~''j, = o 



o„ = o ( dy 2 = o f d k ~ K <p 2 ■= o 



y,, = o ] dcp„ <= o ' d k ~ { cp„ = o 



sans que l'on ait, au moins pour une valeur dey, d k y y = o, on aura néces- 

 sairement 



_ de d~ç> d k - 2 e) 



0==o ' 7/7 = °' *r = »---> -JFÏ = o> 



d*—'Q 



sans avoir t-l — o, c'est-à-dire qu'une solution d'ordre k pour les propo- 

 sées sera une solution d'ordre k — i pour le système d'équations obtenu en 

 remplaçant l'une des proposées par leur déterminant fonctionnel. 



» Réciproquement, si (.r,, .x\, . . ., x„) est une solution du système pro- 

 posé et en même temps solution d'ordre A' — i pour le système obtenu en 

 remplaçant l'une d'elles par 0=o, (.r,, r\,..., x„) sera une solution 

 d'ordre k pour le système proposé. Car en supposant spécialement que 

 c'est l'équation <pj = o qu'on a mise de côté, on tirera de l'équation (4), en 



d 



on 



vertu des hypothèses admises, -j~- = o pour h=i, 2,..., /• (et n 



# = A' -t- i). D'ailleurs, sous la condition = o, l'équation (4) subsiste 

 pour les 71 valeurs dey. 



» De là on conclut le théorème qui est la généralisation de celui de 

 M. Serret. 



» THÉORÈME II. — Pour (pic (x,, x 2) ..., x„) soit une solution d'ordre I, 

 pour les équations 



?! = O, fj = O, ..., <p„ = O, 



il faut et il suffit que [x,, X 3 , . . ., X„) soit une solution du proposé et en même 

 temps solution d'ordre le — i pour le système obtenu en remplaçant l'une de 



