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 Expression générale du nombre des surfaces qui satisfont à neuf conditions quelconques. 



» Les neuf conditions Z, Z', Z'",..., sont exprimées par les trinômes 

 a/u. + 6v -l- yp , a.'[3. -h ê'v-t-y'f,.... On introduit une première condition Z dans 

 les quarante-cinq systèmes élémentaires, et l'on forme ainsi les systèmes 

 dans lesquels cette condition Z est associée à sept conditions élémentaires. 

 On introduit dans ces systèmes la seconde condition Z', et l'on forme les 

 systèmes dans lesquels les conditions Z, Z' sont associées à six conditions 

 élémentaires; et ainsi de suite. Ce calcul, sans doute, est long, quoiqu'il 

 ne présente aucune difficulté. Mais on peut l'éviter et former immédiate- 

 ment la formule cherchée. 11 suffit de remarquer que chaque ternie doit con- 

 tenir neuf facteurs qui sont les coefficients a, 6, y, a',..., appartenant aux 

 neuf conditions données; deux coefficients d'une même condition ne se trou- 

 vant jamais ensemble comme facteurs, c'est-à-dire dans un même terme. 

 Ainsi, un terme sera de la forme, par exemple, aa'a"a'"a IT 6 v 6 VI 6 VII 7 VI ". La somme 

 de tous les termes semblables peut s'exprimer par 2aa'a"a'"6 IV 6 v 6 , ' I 6™7 vm , 

 comme nous l'avons fait pour les courbes, et même plus simplement en- 

 core, par 25a. 36. 17. Il reste à déterminer les coefficients numériques de 

 ces termes sommatoires 2. Or, cela est bien simple, il suffit d'observer que 

 lorsqu'une condition Z est de passer par un point donné, on l'exprime 

 en faisant a = i,ë = o, 7 = 0; et de même, pour la condition de toucher une 

 droite, on fait a = o, 6=1 et 7 = 0; et enfin, pour la condition de toucher 

 un plan, a = o, 6 = et 7 = 1. D'après cela, on reconnaît que pour déter- 

 miner le coefficient du terme 25a. 36.17, il faut supposer que les neuf con- 

 ditions sont de passer par cinq points, de toucher trois droites et de toucher 

 un plan. On a alors 



a — a' = a" = a = a IV = 1 , 6 V = 6 IT = 6 V " = r , f m = 1 , 

 6 = 6' = 6" = 6'" = 6' v = o, a y =a yi =a m — o, « T,II =o, 

 y = y' = y" = y" = y IV = o , f = y VI = y v " = o , S"" = o . 



» Il est évident que tous les termes tels que 5 a. 3 6. 1 y sous le signe 2, se 

 réduisent à un seul, égal à l'unité, celui où entre y vl ", puisque les huit y qui 

 entrenl dans les autres termes sont nuls. Mais tous les ternies sommatoires, 

 autres que 25a. 36. 1 y sont nuls, parce que, d'une part, ceux où entrent (dus 

 de cinq a sont nuls, puisque les quatre a qui suivent les cinq premiers sont 

 nuls; et d'autre part, ceux où entrent moins de cinq a renferment néces- 



