( 58o ) 



» on puisse déterminer ses points individuellement au moyen d'un faisceau 

 » de rayons ou d'un faisceau de courbes (comme nous l'avons fait dans 

 » les sections coniques, dans la courbe du troisième ordre à nœud, et dans 

 » les deux courbes du quatrième ordre à trois points doubles ou à point 

 » triple). Par exemple, dans une courbe du cinquième ordre à six points 

 » doubles, les points seront déterminés individuellement par un faisceau 

 » de courbes du quatrième ordre, menées par les six points doubles et un 

 » septième point de la courbe, et ayant elles-mêmes trois points doubles 

 » coïncidant avec ceux de cette courbe. Dans une courbe du sixième ordre 

 t à trois points triples et un point double, il suffira de prendre un fais- 

 » ceau de coniques... (*). » 



a C'est cette propriété des courbes dont les points peuvent se déterminer 

 individuellement, au moyen de faisceaux de courbes, et correspondre à 

 d'autres points déterminés semblablement, qui est la base du Mémoire que 

 je viens de citer. 



» (2) Parmi les courbes d'ordre /n qui ontcecaractèrese trouvent principa- 

 lement celles qui possèdent le nombre maximum de points doubles. Cramer 

 a déterminé ce nombre pour les huit premiers ordres; il répond à la formule 



— '-^ • On avait reconnu que cette expression était un maximum 



du nombre des points doubles d'une courbe, sans démontrer cependant 

 qu'il fût possible de construire ou d'exprimer analytiquement une courbe 

 qui eût ce nombre maximum de points doubles (**). Mais on doit aux progrès 

 récents de l'Analyse la démonstration de ce théorème important, qu'on 

 peut rattacher aux belles recherches de M. Riemann, sur les fonctions abé- 

 liennes, et qui se trouve explicitement, avec de nombreuses applications 

 de la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes à la Géométrie, dans 

 les Mémoires d'un jeune et déjà célèbre géomètre, M. Clebsch (***). En 

 m' occupant particulièrement des surfaces réglées du troisième et du qua- 



(*) Comptes rendus, t. LUI, p. 88g. 



(**) G. Salmon; A Treatise on the higher plane curves, p. 3l. 



(***) Ueber dicjcnigen Curven, deren Coordinatcn sien ait ellipt'uche Funclionen cincs 

 l'arameters darstcllcn lassen. Voir Journal de Crclle, t. LXIV, p. 210; 1 865. — Ueber die 

 Amvendung der Abelsclicn Funclionen in der Géométrie. Ibid., t. LXXIII, p. i8q. — 

 Comptes rendus, t. LX, p. 68. 



Dans ces Mémoires, M. Clebsch ilcinontre diverses propriétés des courbes douées de 



/«(/»— 3) .il! ii 



points doubles, nombre égal au maximum moins i. 



