( 58. ) 

 triètne ordre (*), j'ai été conduit par une voie facile à la construction des 



courbes qui sont douées du nombre maximum — de points 



doubles; et j'ai reconnu que l'on peut démontrer, relativement à ces 

 courbes, une foule de théorèmes, absolument comme je l'ai fait poul- 

 ies sections coniques, par la correspondance entre les points d'une même 

 courbe, ou entre les points de plusieurs courbes. 



» (3) Je me propose aujourd'hui de donner la démonstration géomé- 

 trique de la formule — ' '" ~ 2 , ou plutôt de démontrer une propriété 



des surfaces réglées (concernant leurs courbes nodales), de laquelle se dé- 

 duisent immédiatement la formule et la construction des courbes qui ont le 

 nombre maximum de points doubles. 



» Ensuite je ferai diverses applications du principe de correspondance 

 qui sert à démontrer les propriétés de ces courbes comme celles des co- 

 niques. Des propriétés qu'on démontre ainsi pour les courbes douées du 

 nombre maximum de points doubles, se peuvent conclure celles des 

 courbes dépourvues de points doubles. La question est de reconnaître dans 

 chaque cas la modification causée par les points doubles : on remonte ainsi 

 de la propriété trouvée pour une courbe à points doubles, à l'expression de 

 cette propriété dans une courbe pure. 



» Cette théorie paraît donc offrir un élément de démonstration qui pourra 

 être très-utile. 



» (4) Les courbes à double courbure se rangent, comme les courbes 

 planes, en deux classes, eu égard à la détermination individuelle des points 

 sur les unes, tandis que sur les autres on ne peut déterminer que des 

 groupes de points. 



» Voici une propriété de ces courbes, qui nous est nécessaire pour 

 démontrer le théorème que nous avons en vue. 



» Si l'on a dans l'espace deux courbes, gauches ou planes, U m , U m -, 

 d'ordres m et m', dont les points a, a' se déterminent individuellement et se cor- 

 respondent anharmoniquement, les droites aa', qui joignent ces points deux à deux, 

 forment une surface d'ordre (m + m'). 



(*) Voir Comptes rendus, t. LUI, p. 888 : « Les surfaces réglées du quatrième ordre 

 » présentent beaucoup plus de variété (que celles du troisième ordre); elles admettent qua- 

 » torze espèces. Je compte communiquer prochainement à l'Académie une théorie assez 

 » étendue de ces surfaces du troisième et du quatrième ordre. » Celte théorie a été le sujet 

 du Cours de la Faculté des Sciences, semestre de 1864-1 865. 



