( 582 ) 

 » 11 faut démontrer que [m + m') droites aa! s'appuient sur une droite 

 quelconque L. Un plan Lx, mené par L, coupe la courbe U,„ en m points rt, 

 auxquels correspondent, sur U,„<, m points a'. Appelons Lu les plans menés 

 par la droite L et par ces points a'. Nous dirons qu'à un plan Lx corres- 

 pondent m plans Lu. Un plan Lu coupe U,„- en m' points a', auxquels 

 correspondent, sur U,„, m' points x. Par ces points passent m! plans Lx, 

 qui correspondent au plan Lu. De ces relations entre les plans Lx et les 

 plans correspondants Lu, on conclut qu'il existe (m + ni') plans Lx qui 

 coïncident cbacun avec un plan correspondant Lu. Chacun de ces plans 

 renferme deux points correspondants rt, a' des deux courbes U,„, U,v, et 

 conséquemment une droite art'. Donc (m -f- m') génératrices flrt' s'appuient 

 sur la droite L. Donc la surface lieu de ces droites est d'ordre (m + m'). 

 C. Q. F. p. 



» Observation. — La courbe d'ordre [m 4- m'), intersection de la surface 

 réglée et d'un plan, est de la seconde classe des courbes planes; c'est-à-dire 

 que les points de la courbe se déterminent individuellement, car ces points 

 appartiennent aux génératrices de la surface, lesquelles sont déterminées 

 individuellement, puisqu'elles partent des points de U,„, qu'on détermine 

 individuellement par hypothèse. 



» (o) On sait que dans une surlace réglée d'ordre m, civique génératrice est 

 rencontrée par (m — 2) autres génératrices. La raison en est bien simple. Un 

 plan mené par une génératrice A coupe la surface suivant une courbe 

 d'ordre (m — 1), qui est le lieu des points d'intersection du plan et des gé- 

 nératrices de la surface. L'un de ces points a' appartient à la génératrice A' 

 infiniment voisine de A, et se trouve infiniment voisin du point où le plan 

 est tangent à la surface. A la limite, le point o! est sur A : c'est le point de 

 contact du plan. La droite A rencontre la courbe d'ordre [m — 1) en 

 (m — 2) autres points, qui appartiennent donc à [m — 2) génératrices. Ce 

 qui démontre la proposition. 



» Ainsi il existe sur chaque génératrice (m — 2) points, qui sont les 

 points de rencontre de cette droite et de [m — 2) autres génératrices. L'en- 

 semble de tous ces systèmes de {m — 2) points forme une courbe à double 

 courbure qu'on appelle courbe nodule de la surface, parce que la courbe 

 d'intersection de la surface et d'un plan quelconque a un point double en 

 chaque point de la courbe nodale situé dans le plan. C'est un point double, 

 parce que deux génératrices percent le plan en ce point. 



» (6) La courbe nodale d'une surface réglée d'ordre m estd'ordre • 



