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 » Démontrons que si le théorème est vrai pour une courbe d'ordre [m— i ), 

 il le sera pour une courbe d'ordre m. 



» La section de la surface d'ordre (m — i) par un plan est une courbe 2 



d'ordre (m — i) ayant -— — - points doubles, puisque la courbe 



.,11 c i) i ("' — 2 ) ('" — 3) . ., , T 



nodale de la surface est d ordre ■ > par hypothèse. Les points 



de cette courbe se déterminent individuellement (ce qui va être démontré 

 ci-après). Que l'on conçoive dans l'espace cette courbe d'ordre (m — i) et 

 une droite D, et sur ces deux lignes deux séries de points a, b,... et a', 

 b' ',... qui se correspondent anharmoniquement : les droites aa', bb'... for- 

 meront une surface d'ordre [m — i + i) — m (5). Il existe une génératrice 

 de la surface, située dans le plan de la courbe 2 : c'est la droite qui joint le 

 point a', où la droite D rencontre le plan de 2, au point correspondant a 

 de 2. Cette droite aa! rencontre [m — 2) autres génératrices de la surface 

 en [m — a) points qui appartiennent à la courbe nodale de la surface. Mais 



1 1 f • 1 i »' — 2 ) ( m — 3 ) ..iii 



la courbe 2 possède i ! points doubles qui appartiennent aussi 



à la courbe nodale. Cette courbe possède donc 



(ni — i}lm — 3l , •, (m — 'A(m — 3-h'î) (m — i } ( m — ■?.) 



1 h (m — a) — = ■ 



2 ?. 2 



m — 1 ) ( m - 



points situés dans le plan de 2. Donc elle est de l'ordre 



ce que nous nous proposions de démontrer. 



» Maintenant, si m = 3, ou a une surface du troisième ordre, dont on sait 



que la courbe nodale est une droite, et dès lors est d'ordre k — = 1 . 



Donc la courbe nodale d'une surface du quatrième ordre est d'ordre 



— = 3, et par suite la courbe nodale d'une surface du cin- 



e 5 1 ) ( 5 — 2 1 



quième ordre est — — = 2 . 3 = G, et ainsi de suite. Donc la courbe 



nodale d une surface d ordre m est d ordre- — -• c. Q. F. D. 



» ( 7) Une courbe plane (V ordre m peut avoir ■ — points doubles. 



» Ce théorème est une conséquence immédiate du précédent ; car si l'on 

 considère une surface réglée d'ordre ni, un plan la coupe suivant une 



courbe du même ordre qui a un point double en chacun des — 



points d intersection de la courbe nodale et du plan. 



C. R., 1866, I er Semestre. (T. LX1I, N° 11.) 76 



