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 » (8) Si une courbe C ra [d'ordre m) a ( - — points doubles, on 



peut déterminer ses points individuellement au moyen d'un faisceau de courbes 

 d'ordre (m — i), qui ont (m — 2) points doubles communs avec pareil nombre 



de points doubles de C U1 , et ■ ~ 2 "'~ points simples coïncidant avec les 



autres points doubles de C m , et qui passent toutes par un autre point fixe de C m . 



» En effet, un faisceau de courbes d'ordre (m — 1) est déterminé par 



!„,-,)(,» + 3 ) _ i __ m> -+- m - 4 po . ntS) bage da faisceau Qr j es (,„ _ 2 ) 



points doubles équivalent à 3 (m — 2) points simples, qui, avec les 

 [m — 1) [m — — ) _^_ ^ p Q j nts p ar i es q U els passent les courbes d'ordre (m — 1), 



font "' ~ ' "' ~ ~ — 1. Ainsi le faisceau est déterminé. 



» Ces courbes d'ordre (m — 1) coupent C,„ en m (m — 1) points, dont 

 4 [m — 1) se trouvent aux (m — 2) premiers points doubles, (m — 2) (m — 3) 

 aux autres points doubles et i au point fixe pris sur C,„, ce qui fait 



4 (m — 2) + (m — 2) (m — 3) + 1 = w*(m — 1) — 1. 



Donc les courbes n'ont qu'un point d'intersection variable; ce qui dé- 

 montre le théorème. 



» (9) On peut aussi déterminer les points de la courbe, de diverses 

 manières, au moyen d'un faisceau de courbes d'ordre [m — 2). 



» Les courbes du faisceau auront pour base cl points doubles coïncidant avec des 



ftoinls doubles de C m , — — — d points simples coïncidant avec les 



autres points doubles de C m , et (m — 3 — ad) autres points simples pris sur C m . 



Application du principe tic correspondance. 

 » (10) Trouver le nombre des coniques du système (jx,vj qui touchent une 



1 w-r |J I r (ni I ) f 111 l) . . .. 



courbe Uni d ordre m, a — points doubles. 



» Par un point oc de U,„ passent /x coniques qui coupent U,„ en \j.[im — 1) 

 points u. Par un point u passent aussi jx coniques qui coupent U,„ en 

 p.(im — 1) points x. Donc il existe 2jx(2»i — 1) points ,r qui coïncident 

 chacun avec un point u correspondant. Ces points appartiennent à des coni- 

 ques tangentes à U,„, moins un certain nombre qui forment des solutions 

 étrangères. Ceux-ci sont des points de rencontre de U,„ et des (2/j. — v) 

 coniques infiniment aplaties dans le système (fi,v). Ces points sont en 



