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 nombre m (2/* — v). Le nombre des coniques tangentes à U m est donc 



i\x (2111 — 1) — m (2 p. — v) = 2(111 — 1 ) p. -+- wv. c. Q. F. D. 



» Conséquence. — Par chaque point double de U m passent p. coniques, dont 

 chacune peut être considérée comme tangente à la courbe et compte pour 

 deux, parce que la conique du système, infiniment voisine de celle-là, coupe 

 la courbe en deux points infiniment voisins, et doit donc être comptée 



aussi comme conique tangente. Ainsi, les coniques menées par — 



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points doubles d'une courbe comptent pour p.(m — i)('« — 2) coniques 

 tangentes à la courbe. Donc le nombre des coniques tangentes à une courbe 

 d'ordre m qui n'a pas de points doubles est 



2(111 — 1) p. •+■ m v -+- p(m — 1 ) (m — 2) = 111(111 — i)p. -+- mv. 



Formule connue (Comptes rendus, t. LVIII, p. 3oo). 



» (11) Le nombre des coniques (3Z,e) qui passent par un point e de U„, et 

 touchent U ra en d'autres points, est (m — 1) (2 pi -+- v'); pi, v étant les carac- 

 téristiques du système (3Z, 1 rj.)=(pi', v'). 



» En effet, par un point x de U,„ passent pi coniques qui rencontrent U m 

 en p! (2.171 — 2) points u. De même, par un point u passent p! coniques qui 

 coupent U,„ en p! (2111 — 2) points x. Donc il existe 2p.' (2m — 2) points oc 

 qui coïncident chacun avec un point u correspondant. 11 faut retrancher les 

 points dans lesquels les (2 jx' — v') coniques infiniment aplaties du système 

 (3Z, e) rencontrent U m . Ces points sont en nombre (m — 1) (2p.' — y'). Il 

 reste 2 p.' (2m — 2) — (m — i)(2fx' — v') = (m — 1) (2 p.' + v'). c. q. f. d. 



» (12) Déterminer te nombre des coniques (3Z, O m ) osculalrices à une 



courbe O m d'ordre m, qui a A points doubles. 



» Nous remplacerons les trois conditions 3Z par les deux caractéristi- 

 ques p!, v' du système (3Z, ip.) = (pi, v'). 



» Par un point x de O m passent— coniques tangentes à 0,„ en ce point x. 



Ces coniques coupent O en — (2 m — 2) = v' (m — 1) points u. Par un 



point 11 de O passent (m — 1) (2 pi + v') coniques tangentes en des points x. 

 Donc il existe (m — i)v' -+- (m — 1) (2 pi -h v') = 2 (m — 1 ) ( p.' -+- v' ) points x 

 qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Ces points appar- 

 tiennent à des coniques osculatrices, moins un certain nombre qui forment 

 des solutions étrangères. Ceux-ci sont dus à des coniques infiniment 

 aplaties, tangentes à 0,„. En eflet, par chaque point de O passent (2p.' — •/) 



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