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 coniques infiniment aplaties, satisfaisant aux trois conditions 3Z. Toutes 

 les droites qui représentent ces coniques enveloppent une courbe de la 

 classe (ip! — v'). La courbe O étant de la classe 2 (m - 1) (à raison de ses 



(m — 1 ) (m — 2) 1 1 1 \ 1 1 1 / s , > 



points doubles), les deux courbes ont 1 (m — 1 ) ( 2 jj>/ — v ) tan- 

 gentes communes. Mais ou reconnaît aisément que puisque les tangentes de 

 la première courbe partent toutes des points a, a', ... de O, si l'une d'elles est 

 tangente à O en a, et par conséquent passe par a', la droite infiniment voi- 

 sine qui part de a' est aussi tangente à O; d'où il résulte que la courbe enve- 

 loppe de ces droites est tangente à O en a'. Ainsi, les deux courbes ont 

 (m — i)(a//.' — v') points de contact. En chacun de ces points la tangente 

 représente une conique infiniment aplatie faisant partie du nombre 

 2(171 — 1) fpt,' + v'). Ces solutions étrangères réduisent donc le nombre des 

 coniques osculatrices à 



2 (ni — 1) (pj + •/) — (m — 1) ( 2/j.' + •/ i = 3 (m + i] •/. 



Tel est le nombre des coniques (3Z) osculatrices à la courbe O,,,. On peut 

 écrire 3 (m — i)N (3Z, 1 p . , 1 d). 



a Conséquence. — On peut conclure de là le nombre des coniques (3Z) 

 osculatrices à une courbe 0,„ qui n'a pas de points doubles. Il suffit d'ob- 

 server qu'un point double diminue le nombre des coniques osculatrices 

 de six, parce que les deux coniques tangentes en ce point aux deux branches 

 de la courbe représentent des coniques osculatrices comme ayant trois 

 points coïncidents, communs avec O, et que chacune de ces coniques compte 

 pour trois, parce que les deux coniques infiniment voisines, consécuti- 

 vement, ont aussi trois points communs infiniment voisins avec la courbe. Il 



1 1 . 1 . . [m — ( m — '- ) • 1 11 1 ■ ■ 



résulte de celte considération que points doubles diminuent 



le nombre des coniques osculatrices de i(m — i)('« — 2), et qu'ainsi une 

 courbe sans points doubles admet 



c 



■\(m - 1 •/ + G 

 oniques (3Z) osculatrices. » 



— 1) (m — 2) •/ _ 3/« (m 



GÉOMÉTRIE. — Noie sur la correspondance de deux points sur une courbe; 



par M. A. Cayley. 



« Dans la théorie à laquelle se rapporte celte Note, un point de rebrous- 

 sement, s'il était nécessaire d'en parler, serait censé un cas particulier du 

 point double; mais, pour simplifier, je ne ferai attention qu'aux courbes 

 sans point de rebrousseinent. 



