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 situés en ligne droite avec un point donné O, alors les points unis sont les 

 points de contact des tangentes menées par le point O; donc le nombre des 

 points unis est égal à la classe de la courbe. La courbe = o est ici la 

 droite OP', il y a donc une seule intersection P'; donc /. = i, et nous avons 

 entre les points P, P' une correspondance (m — i , m — i). Donc nous avons 

 pour la classe M de la courbe l'expression 



M = a (m — i) h- aD, 



où, en substituant pour D la valeur 



D = £('»-»)('»- 2 )-°\ 



nous trouvons 



!\T = m 2 — m — ?.d, 



comme cela doit être. 



» 2° Recherche du nombre des inflexions. — Si les points P sont les points 

 de rencontre, avec la courbe, de la tangente au point P', alors les points unis 

 seront les points d'inflexion. La courbe = o est ici la tangente au point P'; 

 il y a ainsi deux intersections au point P; donc k = i; de plus, à chaque 

 point P' correspondent (ni — 2) points P, et à chaque point P correspon- 

 dent M — 2 points P'. On a donc pour le nombre des inflexions 



î = (OT4-M -4) + 4D, 

 ou, en substituant pour M, D, leurs valeurs, 



i = 3 m (m — 2) — 6 c?, 

 ce qui est juste. 



» Avant d'aller plus loin, il convient de généraliser le théorème, en 

 remarquant que les intersections des courbes U = o, 6 = peuvent for- 

 mer plusieurs systèmes simples ou multiples de points : les intersections 

 peuvent être le point I''(/i fois), un système de points V(p fois), un système 

 de points Q (cj fois), etc. Cela étant, s'il y a entre les points P et P' une cor- 

 respondance (a, «'), et si le nombre des points unis de ce système est a; s'il 

 y a entre les points P' et Q une correspondance (jS, |S'), et si le nombre des 

 points unis de ce système est b, et ainsi de suite; alors le théorème prend la 

 forme 



pa + </b -+- ... = p(v. -+- a') + </(/3 + jS') -1- . .. -+- 2 AD. 

 C'est la forme applicable à l'exemple qui suit. 



