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 » 3° Recherche du nombre des tangentes doubles. — Prenons pour la courbe 

 = o le système des (M — 2) tangentes menées à la courbe par le point 

 donné P'; on a ici les points P qui sont les points de contact de ces tan- 

 gentes, et les points Q qui sont les autres intersections de la courbe par ces 

 tangentes; les intersections sont le point F (M — 2) fois (donc k = M — 2), 

 le système des points P(a fois) et le système des points Q(i fois). Le sys- 

 tème P, P' est précisément celui qui donne les points d'inflexion. On a 



donc 



« — a! = m — 1 ; 



a est égal au nombre de points d'inflexion (niais, pour plus de commodité, 

 je retiens le symboles); p = 2. Le système P, Q est un système qui a pour 

 points unis les points de contact des tangentes doubles, le nombre h des 

 points unis sera donc 21, en dénotant par t le nombre des tangentes 

 doubles. On a pour la correspondance (/3, jS') entre les points P' et Q 



|3 = /3'=(W.-3).(M - 2); 



enfin 



(/ = i. 



Le théorème donne ainsi 



aa-hb= 2.O -f- M -4)+ 2(/«-3)(M-2) + 2 (M- 2)D; 



mais nous avons ci-dessus trouvé 



a = {m -h- M - 4) + /|D; 



donc enfin 



b = 2t = 2(91 - 3) (M — 2) + 2 (M - G)D, 



où, en substituant pour M et D leurs valeurs, on retrouve la formule ordi- 

 naire 



2T = m (m — 2) (m 2 — 9) — [m 2 — m — 6)4*' 4- l\x (x — 1). 



» Parmi les intersections des courbes U = o, = o, il peut y avoir un 

 système simple ou multiple de points fixes, c'est-à-dire indépendants de la 

 position du point P'; disons un système de X points A(Z fois). Il y aura dans ce 

 cas, entre les points P', A, une correspondance (O, X), et les points unis du 

 système sont les points A mêmes; le nombre des points unis est donc X; les 

 deux côtés de l'équation contiendront les termes égaux 11 et /(O -+- X) 

 respectivement, qui se détruisent, ce qui fait voir qu'il est permis de négli- 

 ger les points fixes A, et ne faire attention qu'aux points d'intersection 

 variables. 



