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 » Il est assez remarquable que le théorème général peut s'écrire sous cette 

 forme plus simple 



pa. -f-çb -+-... = p(a + «') + î(|3 + jS') + ..., 



en comprenant parmi les systèmes formés par les intersections des courbes 

 U = o, 6 = 0, le système du point V (k fois), et en posant pour ce sys- 

 tème 



a = o, a — u' = I); 



le système du point P(A fois) donne ainsi un terme = o au côté gauche, 

 un terme = 2ÂD au côté droit de l'équation. 



» Comme dernier exemple appartenant à la formule simple 



a = « + al ■+■ 2/1D, 



je prends : 



» Zj Recherche du nombre des points sextactiques, c'est-à-dire des points 

 qui sont tels, que par chacun passe une conique quia dans ce point un con- 

 tact du cinquième ordre avec la courbe. — Il faut prendre pour les points P 

 les intersections avec la courbe de la conique qui a au point P' un con- 

 tact du quatrième ordre; les points unis seront ceux dont il s'agit. La 

 courbe = o est la conique qui a au point P' un contact du quatrième 

 ordre. On a ainsi, parmi les intersections, le point P' 5 fois; donc /.- == j. 

 A chaque point P' correspondent o.m — 5 points P; à chaque point P, 

 (iom J - 20m — 5 — aoe?) points P' (j'emprunte le terme —20c? d'une 

 formule que vient de donner M. Zeuthen); donc la formule donne pour le 

 nombre des points unis 



10 m 2 — 18/72 — 10 — 20 (? -+- iol), 



c'est-à-dire 



i5//* 2 — 33/m — 3oc?. 



Mais cette expression comprend le nombre 3m(m— 2) — 60* des inflexions; 

 en effet, pour un point d'inflexion, la conique avec contact du quatrième 

 ordre se réduit à la tangente prise deux fois, ce qui est une conique avec- 

 contact du cinquième ordre. Donc enfin le nombre des points sextactiques 

 sera 



m{\ 0.111 — 27)— 2/1 ù, 

 ou, pour une courbe sans points doubles, 



m (1 im — 27) : 

 ce qui s'accorde avec la valeur que j'ai trouvée par d'autres moyens. » 



