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 a 



(i) fj-"-> — p"~' y systèmes de solutions si k^o (moû.p), 



et 



(2) /> 2 "~' -+- (/)" — p" _l ) v systèmes de solutions si A = o (mod. p), 



v désignant, pour abréger, le symbole — - 1 '' ' *"'" suivant la notation de 



Legendre. 



» 2 La congruence à 2n-h 1 indéterminées 



a { x\-\- a 2 x\ -ï-.-.-h a 2a+{ xl n +, = A- (mod.//) 

 en a 



(3) p 2n + p"v', 



en posant 



,-_ r (—i)"a,at. • .a,„ + i l;~\ 



» Si ces formules sont vraies pour n = l et pour n = m, elles le seront 

 pour n = l-hm. Nous allons le démontrer, par exemple, pour la for- 

 mule (1). La congruence 



a { x\ ■+■ a 2 x\ + ... + a 2i i +m) x\ il+m) == A- (mod. p) 

 équivaut aux deux suivantes : 



(A) a, x\ -+- a 2 x\ -4- . . . + fl 2 / x\i =f (mod. p), 



(B) a 2 i +t xl l+ ,-h...+ a 3 ,i +m) xl ( i +m) ~k— y (mod.p), 



où y est une nouvelle indéterminée. 



» Pour toute valeur de y différente de o et de A-, la congruence (A) a 



par hypothèse, /r' _l — p 1 "' 1 solutions, et la congruence (B) en a p 2 '"'' p'"'* p. 



, . , f (—!)'«,«,... a,f| f( — T)"g,/ + ,...fl,(/+,) "] 

 en posant, pour abréger, a= — et p. = — 



„ Pourj- = o, (A) a /r"-' -+-(//- //-')). solutions, et (B) en a p"'"-p"-'p. 

 Enfin, pour y = k, (A) en a p"-'-//-' X, et (B) en a /J 2 '""' + (//"-p'"-> 

 Le nombre total des solutions sera donc 



^ _. 2 ) (prf-l ._/,->.) (/ ^,-. _ r -. p) + (,,>/- _/- ).)[/;-'+ fr" -/>-') (x] j = ,_, _ 



