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 et comme \u. = v, la formule est démontrée. Les formules (2) et (3) s'éta- 

 blissent de même. 



» La formule (3) est évidente si n — o. Il ne reste donc plus qu'à éta- 

 blir les formules (1) et (2) pour n — 1 . 



» Or la congruence a { x\-+- a 2 x\=k (moà. p) devient, en posant 

 a 2 x 2 ^y n — a { a 2 = m, k^ — a,n, 



(C) y\ = m(x\-+-n) (m'bd.p). 



» Si m est résidu quadratique de p, soit w = a 2 (mod.p); posant 

 j, + ax, = p, y,— a.r, = <7, la congruence (C) devient p<7~mn (mod.p 1 ) 

 et aura p — 1 systèmes de solutions : car on peut donner à g une quel- 

 conque des valeurs 1,..., p — 1 et déterminer ensuite p sans ambiguïté. 



» Si m = o, y\ = o, x, reste arbitraire; d'où p systèmes de solutions. 



» Si d'ailleurs m était indéterminé, ainsi que x, et y, , on aurait 

 en tout p 2 systèmes de solutions : car, x, étant pris arbitrairement, on 

 pourra prendre y, arbitraire aussi et déterminer ensuite n, pourvu que 

 • r ï + ,î >° (mod.p); dans le cas contraire, j*, = o et m reste arbitraire. 



» Le nombre total des systèmes de solutions pour m= o ou m = un 



résidu quadratique étant p-h(p — 1) -■> le nombre des systèmes où m 



• • 1 1 • •> (p — 'ï 2 P 1 — 1 „ . . „ 

 est un non-residu quadratique sera p- — p = Mais si 1 on 



prend pour m deux non-quadratiques quelconques, le nombre des sys- 

 tèmes de solutions respectivement correspondants sera le même. Car si 

 y\^m (xi -+- n), on aura (Xj - ,) 2 = ml 2 (x 2 -4- n). Le nombre des non- 

 résidus quadratiques étant 5 à chacun d'eux correspondront p-\-i sys- 

 tèmes de solutions, ce qui complète la démonstration. 



» Corollaire.— Si l'on forme la série ( - j» (-)»•••> I- J dont les termes 



sont les uns positifs =-f-i, les autres négatifs = — 1, le nombre des variations 



sera 



» En effet, la congruence y 2 = x 2 -+- 1 (mod./>) a, d'après ce qui pré- 

 cède, p — 1 solutions. Ces solutions sont d'ailleurs de trois espèces : i° celles 

 où .r=o, ,7"= ± 1, au nombre de deux; 2 celles où x 2 ^a, y 2 ^a-\- 1, 

 a étant un résidu quadratique suivi d'un autre résidu quadratique dans la 

 série des nombres naturels : soit <p le nombre des valeurs de a satisfaisant 

 à ces conditions, chacune d'elles donnera quatre conditions; 3° enfin on 



