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 forme f=(oc, j3, /3', 7', a')(r,j") 5 . Les deux substitutions se ramènent en 

 effet au même type, et chaque expression u donne naissance à des co- 

 variants cubiques tels que 9, (.r, y), 9j(jc, y), etc., mais dont l'ordre est 

 toujours un multiple de 4 augmenté de 3. J'ajouterai encore à ce rappro- 

 chement entre les deux méthodes de résolution de l'équation du cinquième 

 degré, en déduisant de la seconde les conditions de réalité des racines. 

 Sous ce nouveau point de vue, on verra qu'il ne sera plus nécessaire de re- 

 courir au principe de Jacobi, le caractère propre de la seconde méthode 

 consistant en ce qu'on opère toujours directement sur les racines. C'est 

 pourquoi nous aurons lieu d'employer, dans tout ce qui va suivre, une 

 transformée canonique de la forme proposée, différente de celle qui a été 

 considérée au début de ces recherches. Nous la définirons par une substi- 

 tution linéaire qui donne pour résultat 



f=(o, a, b, b',a',o) (r, g) 5 , 



et de manière qu'aux racines | , |,, | 2 , | 3 , |, correspondent respective- 

 ment les quantités 1, £, o, oc , n, en posant 



_ (& — £>) (?■ — £») _ (lo — g 3 ) (^ — g 4 ) 



£ " (I.-S0 (?.-?>)' Y1 ~ (?. — 5i)(?s-ï0" 



» Soit donc I = a"0(| o , |,, | a , | 3 , | 4 ) l'expression en £ , g,, etc., d'un 

 invariant dont l'ordre soit un nombre pair quelconque»; en désignant le 

 coefficient de ^ dans B par (| , |,, | 2 , ?3> !*)> o» aura pour forme cano- 

 nique 



I = (5ttf0(i } î,o,j}).. 



» Je vais appliquer ce résultat à l'invariant du dix-huitième ordre K, 

 dont je rappellerai d'abord l'expression en fonction des racines. 

 » Soient à cet effet 



F = (& - s,)(fe - I,) (I, - 10 + (g, - 10 (lo - &■) (& - g,), 



G = (| - |,) (;„ - | 2 ) (|< — S 3 ) H- (lo — la) (lo - 10 (I, - | 2 ), 

 H = (lo - I,) (lo - I,) ( = , - ?0 + (lo - I.) (lo - 10 (la - S,), 



et convenons de représenter par F.,, G„, II„ ce que deviennent respecti- 

 vement ces quantités, en ajoutant aux indices des racines, toujours pris 

 suivant le module 5, le nombre v; on sait qu'en faisant 



X V =F,G,H, 



