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THÉORIE DES NOMBRES. — Sur une congruenve du deuxième degré à plusieurs 

 inconnues} par M. V.-A. Le Bésgite. 



« Dans les Comptes rendus du 19 mars 186G, M. Camille Jordan énonce 

 el vérifie des formules qui expriment le nombre des solutions de la con- 

 gruence 



(a) a i x\ + a i xl-^-...-\-a h x] L l ^k, mod. p. 



Ce sont : 



» i° Pour h = 271, 



p*"-< _|_ (^ _ //'-' )v, p 1 "-' - p"v, 

 selon que k est ou non divisible par p. On a 



[Y— !)*«,«,... tf, B î , ,-fT~" + ' 3 



= p-o-^... fl „ j ou ( _ i} — 



en représentant par j3 le nombre des coefficients a i ,a % ,...,a in non-résidus 

 quadratiques de p. 



» 2 Pour h = in -+- 1, 



p 2 " + />"•/, 



en posant v' = [ ( ~ '^'^ ' " ; " +,/ ] = (- i)" "^ (*)» « représentant 



par |3 le nombre des coefficients a,,a i ,...,a 2ll+ i non-résidus quadratiques 

 de p. Pour A multiple de p on a v' =5 o. 



» L'important étant, ce semble, de montrer comment on a pu parvenir 

 aux formules, avant de les vérifier, j'en vais donner deux démonstrations 

 qui se tirent très-facilement du § I er de mes Recherches sur les nombres, 

 Journal de Mathématiques, t. II, p. 2 r >3. 



» Première démonstration. — On ramène très-facilement l'équation (a) 

 aux deux formes suivantes : 



(f,) x\+ .r\+...-hx/f~a, mod.p, 



(c) x]+...+x f , + n{j\ +:..-hjr?)=za. 



» Dans la congruence (b) on suppose : 



» i° Que a est nul, et alors le nombre des solutions est représenté 

 par NX; 



