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» %° Ou que a est résidu quadratique, et alors le nombre des solu- 

 tions est N A ; 



» 3° Ou que a est non-résidu quadratique, et alors le nombre des solu- 

 tions est N', . 



h 



» N.B. x,, jc 2 , ..., x n sont pris dans la suite o, i, 2,. .,, p — 1 . 



» Dans la congruence (c) n est un non-résidu quadratique, et a un ré- 

 sidu quadratique; les nombres de solutions sont, pour a = o, N°,; et pour 

 a résidu quadratique, Ny_,. Il est inutile de considérer le cas de a non- 

 résidu quadratique, qui se ramène au précédent. 



» J'ai donné [Journal de Mathématiques, t. II, p. 270) les valeurs de 

 N , N,, N 2 ; ce sont celles de M. Jordan en remplaçant v par (— i) ; , v' par 

 (— i)/' ou par o. 



» J'ai donné aux pages 267, 268, pour le cas de a = o, les formules 



n • ,. = n ; n; + p -^- ( NfN, + n>n; ) , n;„ = n; n; + K~. (N r n; + n; n,-) , 



selon que p a la forme /j<? — 1 ou 4 7 + 1; et à la page 268, la formule 



par le cas de a résidu quadratique. 



« Réductions faites, on a les formules de M. C. Jordan. Je donnerai ail- 

 leurs le calcul de manière à introduire simplement et naturellement le 



symbole (— ] de Legendre. 



» N. B. J'ai traité spécialement le cas de l'équation (b) qui devait me 

 donner une démonstration nouvelle de la loi de réciprocité de Legendre. 



» Deuxième démonstration. — C'est une conséquence des formules don- 

 nées dans l'article VIII du Mémoire cité plus haut, p. 287. Comme il s'y 

 trouvait une lacune que j'ai fait disparaître, ainsi que quelques fautes d'im- 

 pression ou de copie, par une courte note qui se trouve à la page 366 du 

 tome IV de la 2 e série du Journal de Mathématiques, je vais exposer briève- 

 ment la solution de ce problème : Trouver le nombre des solutions de la con- 

 g ruence 



a -+- a,x m 4- a a x ™ 4- . . . -t- a h x",l = o, mod. p = zsm + 1. 



Jen'examineraiquelecasdes inconnues prises dans la suite o, 1, 2,...,/?— 1 

 (et non dans la suite 1, 2,..., p — 1, cas que j'ai aussi traité). L'application 



