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 été l'objet d'un Rapport fait clans la séance du 17 avril i8G5. Il est divisé 

 en quatre chapitres. 



» Le premier est consacré à l'étude de la représentation d'égale super- 

 ficie sur un plan des contours tracés d'une manière arbitraire sur une sur- 

 face donnée, qu'on suppose découpée par un système de lignes géodésiques 

 et par le système de leurs trajectoires orthogonales. On commence par 



déterminer une fonction H = P P — h <f- -f</", qui caractérise en chaque 



point l'altération résultant du tracé adopté; elle conduit à la détermination 

 des directions dans lesquelles les éléments de longueur ne sont pas altérés, 

 des directions conjuguées dont l'angle ne subit pas de variation, des direc- 

 tions les plus déviées, etc. 



» Le second chapitre a pour objet l'emploi des coordonnées isothermes 

 et des coordonnées imaginaires qui permettent de transformer les résultats 

 obtenus dans le chapitre précédent; ces coordonnées donnent la solution 

 la plus rapide du problème de la conservation des angles. 



» Les caractères des surfaces développables, c'est-à-dire applicables sur 

 un plan, sont fournis immédiatement par la considération de la fonction H. 



>> Dans le troisième chapitre se trouve traité le problème de la représen- 

 tation d'égale, superficie d'une surface donnée sur une autre surface quel- 

 conque. C'est une extension des principes posés dans le chapitre premier, 

 qui n'était lui-même qu'une extension du premier Mémoire. La question 

 est d'abord traitée au moyen des coordonnées géodésiques, puis au moyen 

 des coordonnées quelconques : on détermine, pour ce dernier cas, la foi nie 

 de la fonction TI. Si l'équation H = 2 peut être satisfaite en tous points, 

 on est certain que les surfaces données sont applicables l'une sur l'autre. 



» Le chapitre quatrième et dernier renferme une étude des tracés d'égale 

 superficie qui conservent sur le plan l'angle droit des lignes isothermes 

 ou des lignes géodésiques. On démontre que ce problème revient à décom- 

 poser une fonction donnée de deux variables u et v en deux facteurs X 

 et Y tels, qu'on ait l'équation 



Tfr \ Y dp) ~*~ du \X tlu ) ~°' 



» On essaye ensuite l'intégration de l'équation suivante, qui est aux dé- 

 rivées partielles du second ordre: 



d\ il\ 



ijr + q") 1 - bpqs H- (//- + q a )t + ' - 1 /> 2 - y- ) = 0, 



