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dans laquelle X est une fonction donnée des deux variables indépendantes x 

 et y. La méthode d'Ampère conduit à une équation intermédiaire de la 

 forme 



lo g iP + <l) ± V - 1 ] og (p — q) = V, 

 V étant une fonction de .r et de y; mais il est nécessaire, pour cela, que la 

 fonction donnée ), soit le produit d'une fonction de x -\-y par une fonction 

 de x — y. Celte équation intermédiaire ne contient pas de fonction arbi- 

 traire. On a une autre équation intégrale, qui n'a pas non plus de degré 

 convenable de généralité, lorsque X est le produit d'une fonction x 4-J'y — i 

 par une fonction de x -—J\ — i ; cette équation est 



z = 9(.r :fcj v /-!), 



avec une fonction arbitaire. Mais cette solution ne peut conduire qu'à un 

 tracé imaginaire. Il resterait donc à trouver l'intégrale générale de l'équa- 

 tion proposée. 



» Les quatre derniers paragraphes traitent de cas particuliers, relatifs à 

 la sphère, à l'héliçoïde gauche à plan directeur, à certaines formes particu- 

 lières de la fonction G qui figure dans l'équation 



ds 2 = dv- -+- Gdir. 



» Une note a pour but d'indiquer le problème qu'on aurait à résoudre 

 pour trouver, en se servant de la fonction H, le tracé d'égale superficie le 

 meilleur pour la représentation plane d'un contour défini pris sur une sur- 

 face donnée. Ce problème est d'une difficulté supérieure à celle des ques- 

 tions que l'on résout ordinairement par le calcul des variations, à moins 

 qu'on n'impose une condition spéciale au tracé cherché, par exemple celle 

 de conserver l'angle droit des lignes coordonnées qui découpent la surface. 

 Encore est-on conduit, dans ce dernier cas, à une équation aux différences 

 partielles du second ordre qui n'est probablement pas intégrable dans 

 l'état actuel de l'analyse. 



» Nous nous bornerons à extraire de ce travail le théorème suivant : 

 » Étant donnée une surface quelconque, il est toujours possible, d'une infinité 

 tle manières, d'y tracer un réseau de lignes infiniment voisines les unes des autres, 

 en décomposant la surjace en parallélogrammes infiniment petits, de telle manière 

 que ce réseau soit applicable sur une autre surface donnée, un plan par exemple, 

 sans altération des côtés ni des aires de ces parallélogrammes infiniment petits, 

 mais avec une simple permutation de leurs angles, chaque angle s échangeant 

 avec son supplément. » 



