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 et la valeur de cD montre bien effectivement qu'il s'évanouit pour / = o et 

 g = o, c'est-à-dire lorsque deux couples de racines deviennent égales entre 

 elles. 



» Les équations (i) peuvent aussi servir à démontrer immédiatement ces 

 identités remarquables données par M. Brioschi, savoir : 



Uo -+- Ui + u 2 4- u 3 -+- m = u*4- 2 u œ , 

 Ux — »i ■+■ «» 4- u» — u« =n 4- 2t) , 



«„— «o — Us -+- «s H- U; = Us -+- 2 t),, 

 U x -+- «o — U, — Us 4- Ui = U 2 -+- 2 »,, 

 Hoo-f-Uo 4- th— Uo — U l = U 3 + 2l) 3 , 

 U x — Uo 4- Ui 4- U-, — U 3 = U 4 ■+- 2 D 4 . 



Mais nous les employons principalement à l'étude des nouvelles fonctions 

 cycliques du sixième ordre formées en élevant u et au cube, et que nous 

 allons joindre à U et V. 



» Je montrerai en premier lieu que ces deux groupes de quantités U 

 et u 3 , de nature si différente au premier abord, peuvent être compris dans 

 la même forme algébrique. Pour cela, je remplace les carrés F 2 et H 2 , dans 

 l'équation 



8u3 = a 6 ^(F 3 +3F 2 H + 3FH 2 + H 3 ), 



par H 2 — 4 Ig et F 2 -+- ^lg, après avoir divisé par 4 il viendra ainsi : 



2ïil = o 6 (h"F 3 -hhUl 3 -^3ghUF- ZghHU). 



J'opère de même dans la relation 



U M = u«{k 3 F\V- -+- (h' 4- fgh)F*H 4- [h* +Jgf /F], 



ce qui donne 



U a , = « 8 [A , F , -i-(A 8 -/A -J-)hlP + (/* + 2/*A-/ ï A s - Sfh* - lh*)l¥ 

 -4C/'*-t- »/"**- A 4 )/H]. 



» On voit donc que les deux fonctions cycliques du sixième ordre sont 

 comprises dans cette forme : 



?(/ h)f + 4 (7, />) H 3 + 9{ (J, h) /F 4- |, (/, h) IH, 



