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savoir : 



«•/gftFGH et « ,2 (pf+.lf')(Pfl + 1fl')(P 1 ) + ilb')- 



Le premier, qu'on peut écrire ainsi : 



„ ,, ,,FGH , 2 t^ a'FGH 

 a. jglu —j— = 5 \JdD — - — » 



met immédiatement en évidence une fonction rationnelle de la racine £ ; mais 

 il reste encore à donner explicitement au second cette même forme, et c'est 

 ce que je vais faire, après avoir ajouté cette remarque, facile à vérifier, que 



la substitution ! n'a d'autre effet que d'y changer le signe du radical y5. 



» XX. Comme élément essentiel de l'importante transformation qu'il 

 s'agit d'opérer, j'introduirai l'expression suivante : 



* = «•(/-*) (g -*) (A -/)*• 



C'est un invariant, comme on le voit de suite, et de plus une fonction 

 rationnelle de la racine 2 , car le facteur a 3 [f — g-) (g — h) {h —f) repré- 

 sente l'invariant cubique de la forme du quatrième degré obtenue en divi- 

 sant la proposée par % — £ . Désignant donc par X , X,, X 2 , X 3 , X 4 les cinq 

 déterminations qui correspondent ainsi aux racines £ , ^,, £ 2 , £ 3 , £ 4 , on 

 aura ces relations remarquables, savoir : 



>„-X, =+aa*(| -£,)H 2 G !l H,, 



X -X 2 = -2« 4 (Ç -£ 2 )G,F 3 F 4 , 

 X« - X 3 = - 2x u (So - £ 3 ) F, F 2 G 4 , 

 X — X 4 = + 2a 4 (2 - £ 4 ) H, F 2 G 3 ; 



>, - h = - 2«' (?, - S,) F G 2 F 4 , X 2 - X 4 = - 2a 4 (2 2 - £,) F F, G 3 , 

 X 4 -X 4 = - ia.*% - S 4 )GF 2 F 3 , X 2 - X 3 = + aa*(| 2 - §,) GH ( H 4 , 

 X 3 -X 4 = H-2« 4 (£ 3 -£ 4 )HG l H 2 , X, -X 2 = -H 2a 4 (Ç, -£ 2 )HH 3 G 4 . 



Pour les établir il suffit, par exemple, de démontrer celles-ci : 



X - X, =+ 2a 4 (2 -^)H 2 G 3 H 4 , 

 X - X 2 = - 2a 4 (S -£ 2 )G, F 3 F 4 , 



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