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algèbre. — Sur l'équation du cinquième degré; par M. Heumite. (Suite.) 



« XXIII. Après avoir été précédemment conduit à exprimer en fonction 

 des racines les invariants des formes du cinquième degré, nous allons d'une 

 manière analogue définir quatre covariants cubiques d'ordre 3", 7, 11, i5 

 qui s'offrent d'eux-mêmes dans la nouvelle formule de transformation à 

 laquelle nous venons de parvenir. N'ayant d'autre but en ce moment que 

 de rattacher à un point de vue commun les deux méthodes de résolution 

 que j'ai étudiées, je ne chercherai pas à étendre au delà de mon objet des 

 considérations qu'il serait peut-être intéressant de généraliser, et je me 

 bornerai aux résultats suivants. 



» J'observe que l'expression a'FGHXo étant symétrique par rapport à 

 ;,, c, , ? 3 , S» , on pourra écrire 



a 3 FGHXÔ = aN?J 4- A|J + 3B^ 4- 3B'2„ -h A', 



les coefficients N, A, etc., étant des fonctions entières de ceux de la forme 

 proposée f(x, j) = (a, /3, 7, 7', /3', a') (x t ff. C'est ce qu'on reconnaît 



par l'égalité 



4 

 «NS'+AS'+3Bj:' + 3B'£ + A' = y **;*>"<'* .ffkll, 



qui a lieu quel que soit c, et d'où l'on tire pour le coefficient de \" cette 

 valeur 







ou, plus simplement, 



4 

 ^ a a F v G„H„V' 



/ 



Or on a déjà remarqué, § XX, que la quantité '" " est, par rapport 



aux racines, un invariant comme ).,. Ce coefficient N se distingue donc de 

 tous les autres en ce qu'il est un invariant dont l'ordre est [\n-\-i, de 

 sorte qu'il s'évanouit en supposant n inférieur à l\. 



