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 » Cela étant, je dis que 



Ax' -+- ?>Bx 2 y ■+- 3B'xy 2 -+- A'j 3 



est un covariant de la forme du cinquième degré, et je l'établirai en cher- 

 chant ce que devient l'égalité 



a'FGrUo = AS 3 , + 3.BI2 + 3B'2 + A' 



appliquée à la transformée F (X, Y) =J'(mX + tn'Y, nX + n'Y). 



» Faisant à cet effet â = mu' — m' n, et remarquant que les racines de 



"''' - '"' 

 l'équation F(X, i) = o sont les quantités — > on trouve que le pre- 



1 K ' i m — nt, * * 



■v 



mier membre devient . 



(m — nl a f 



Si l'on désigne donc par %, j£ï, etc., les valeurs de A, B, etc., lorsqu'on y 

 remplace a, /3, etc., par les coefficients de la transformée F (X, Y), on aura 



«'FGHl" ^ „ + „ = % h'ï>-™y + 3|j (»%-»>')> + 3|5' »'*■•-»'' + y; 



et, par conséquent, 



Ag;+3Bg;+3B'g,+A 5 , „+._^ /'l'io-m'Y [ ^ / ii'E,— «A- t ^ / W r„-»i ^ _^,_ 



Cette égalité, ayant lieu en substituant à 5 l'une quelconque des racines, 

 est identique par rapport à cette quantité, et l'on voit facilement qu'en 

 faisant 



« = mX + m'Y, f = nX-h n'Y, 



on en conclut 



(Ax 3 + 3Bx 2 _/+3B'x;- 2 -i-A'7 3 )(? ,0 "+ 6 ^ilX 3 -4-3|ïlX 2 Y+:il3'XY :i + il'Y 3 , 



de sorte qu'aux valeurs n = o, i, 2, 3 correspondent bien, comme on l'a 

 annoncé, quatre covarianls cubiques d'ordre 3, 7, 11, i5. Cela posé, et en 

 les désignant pour un instant par y, {x, j), ?l (x, f), (p^a; j), f t faf), 

 je reviens à la formule 



(1) z = «Vs^FCII (U + ).„ L, + \-L 3 + X*L 4 ), 



