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élevé. Voici d'abord, en posant avec M. Sylvester 



9 A = A 3 - a H (AB + C), 

 cette équation en X, qui a été calculée par le P. Joubert : 



(è) s - 5A (è) , + IoD (^) 3 - I0 ^ AD - 2A )(^ 



+ 5D(5D- 4A 2 )^ - D(io8A- 9 AD- iooA 3 ) = o. 



Cela posé, on trouve, par le calcul direct du premier terme des fonctions 

 intermédiaires et en supprimant un facteur numérique, 



V 2 = BX 3 H- . . . , Y 3 = - NX 2 + 



Mais pour la quatrième fonction, les expressions des différences des quan- 

 tités X, données § XX, montrent qu'elle contient en facteur le carré de 

 l'invariant du dix-huitième ordre, et l'on trouve ainsi, pour le coefficient 

 de son premier terme, l'expression 



4 



K s 2 v (/»gAF v G,H v ) s = a 5R 2 p<. 



o 



Quant à V s , on obtient K 4 D, d'où il résulte qu'en supprimant les facteurs 

 K 2 et K 4 on retombe bien sur les critéria déduits de la forme quadratique 



D,* 2 -6BD/i'-n(D l -ioAB)i> 2 +D[-Bu 2 + 2D,jm'+(9BD-ioAD f )Tr 2 ]. 



» Je remarque encore que l'équation en X, donne un système simple des 

 covariants doubles en oc et x' définis au § XI, et servant à déterminer 

 par leurs signes le nombre des racines réelles de l'équation proposée 

 f{oc, i)=o qui sont comprises entre les limites données. En effet, on 

 peut prendre, en désignant toujours ces racines par x , .r t , etc., et 

 posant V=f(x, 1), 



X — x§ 



\ 3 — V Z. 7— . . . — . t, ^A , A,, A 2 J. 



(a - — x t ) (x — ,r, j (.r — ,r 2 ) 



Quant à <? 4 , on supprimera le facteur R 2 , amené par les symboles Ç qui 



