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contiennent quatre des racines X, et enfin on prendra ■ç 5 =f(x', i).D. 

 On voit qu'ainsi V, sera du premier ordre, <? 2 du neuvième, ^ 3 du vingt- 

 cinquième, i? 4 du treizième, et *? 5 du neuvième. Mais j'arrive, sans m'ar- 

 rèter plus longtemps sur ce sujet, à la méthode élémentaire, et qui donne 

 pour les conditions de réalité les critéria du quatrième, du huitième et du 

 douzième ordre, et au nomhre de trois seulement. Elle se fonde sur ce que 

 les quantités h», u , etc., satisfont à l'équation suivante : 



u ,a -f- {X + 3 y/Â) n'° + [î (a, - y/Â) 2 4- a! n« -+- ou 6 



+ [7 (•*» + VA) 2 -+- a] Au 1 + (jt - 3 VA) AV 4- A 3 = o, 



qu'on forme très-facilement, et dont les coefficients seront tous réels si nous 

 supposons le discriminant A positif, ce qui est, dans la question présente, 

 le seul cas à examiner. Or, en revenant à l'expression d'une des racines, 

 par exemple 



«* == a 4 (x — Xi) (x, — x a ) (j% — jr,) (x 3 — x A ) (x„ — x ), 



on reconnaît immédiatement que x étant réel, x 2 et x 3 imaginaires con- 

 jugués, ainsi que x h et x t , on obtient pour « x une quantité de la forme 

 772 V — i) dont le carré est essentiellement négatif. En établissant donc que 

 l'équation en u n'a que des racines positives, c'est-à-dire que son premier 

 membre n'offre que des variations, on aura les conditions à la fois néces- 

 saires et suffisantes pour que les racines de l'équation du cinquième degré 

 soient toutes réelles. Si l'on convient de prendre positivement \A, on 

 parvient ainsi à ces résultats fort simples : 



A > o, ,l> -f- 3y/A < o, 03 < o, 



et il est visible que le cas des quatre racines imaginaires sera caractérisé 

 par un changement de signe des deux derniers critéria, en conservant la 

 condition A > o. » 



MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — De la locomotion sur routes ordinaires à l'aide de la 



vapeur; jiar M. Séguier. 



« L'honneur de la priorité de la pensée de faire progresser sur route or- 

 dinaire un véhicule au moyen de la puissance de la vapeur appartient à la 



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