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RAPPORTS. 



GÉOMÉTRIE. — Rapport sur un Mémoire de M. Jordan intitulé : 

 Recherches sur les polyèdres. 



(Commissaires : MM. Chasles, Serret, Bertrand rapporteur.) 



« Le Mémoire de M. Jordan est relatif à une question intéressante et 

 nouvelle qu'il a eu à la fois le mérite de poser le premier et de résoudre 

 d'une façon très-heureuse. 



» Si l'on cherche, sans le secours d'un modèle en relief, à faire la des- 

 cription d'un polyèdre en mentionnant la forme et l'ordre de succession 

 de ses diverses faces, arêtes ou sommets, il arrivera en général que chacun 

 de ces éléments jouera un rôle distinct et spécial, sans pouvoir être confondu 

 avec aucun autre, et cela indépendamment de toute mesure numérique et 

 en raison seulement de l'ordre dans lequel se succèdent les faces, arêtes et 

 sommets enchaînés autour de lui. Il y a cependant de nombreuses excep- 

 tions, et il peut arriver de bien des manières que la description verbale d'un 

 polyèdre reste la même quand on change le premier sommet autour du- 

 quel tous les autres sont considérés comme groupés. C'est l'étude de ce 

 nouveau genre de symétrie que M. Jordan s'est proposée dans le Mémoire 

 dont nous avons à rendre compte à l'Académie, et qu'il a su faire avec 

 beaucoup de bonheur et d'habileté. 11 convient, avant tout, de préciser, 

 comme l'auteur le fait au début de son Mémoire, le mode de description 

 dont il est ici question. 



» Soit M, dit-il, un sommet du polyèdre, MN une de ses arêtes. Un ob- 

 servateur placé en M, sur la surface extérieure du polyèdre, et regardant 

 dans la direction MN, verra les arêtes, faces et sommets divers s'enchaîner 

 les uns aux autres suivant un certain ordre que j'appellerai, pour abréger, 

 l'aspect de polyèdre relativement à l'arête MN et au sommet M. 



« Cette définition un peu vague, ajoute M. Jordan, peut être précisée 

 de la manière suivante. Supposons l'observateur situé sous l'arête MN en 

 un point très-voisin de M extérieurement au polyèdre; supposons qu'il se 

 mette à tourner dans le sens direct autour du point M, en restant toujours 

 sur la surface extérieure du polyèdre. Il traversera successivement une série 

 de faces p., v, n, etc., auxquelles il donnera la série des numéros succes- 

 sifs i,2,3, etc. Il numérotera de même les arêtes MN, MP, . . . dans l'ordre 

 où il les rencontre; quant aux sommets, l'origine M portera le n° i, et les 



