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 eux, on dira qu'il y a symétrie par rotation d'ordre k autour de cet élé- 

 ment. 



» Ces définitions établies, les principaux résultats obtenus par M. Jordan 

 se résument dans les propositions suivantes : 



» Les diverses sortes de symétrie que peut présenter un polyèdre P sont 

 au nombre de cinq. 



» i° Symétrie par rotation. — Solides présentant deux éléments singu- 

 liers, dont chacun est unique de son espèce et doué d'une symétrie de ro- 

 tation d'ordre A; les autres éléments ou arêtes sont tons k fois ré- 

 pétés. 



» L'entier A' peut être quelconque. S'il se réduit à deux, l'un des éléments 

 singuliers ou tous les deux peuvent être remplacés par des arêtes à retour- 

 nement. 



» 2 Symétrie par rotation et renversement. — Solides présentant: i° un 

 système de deux éléments pareils E et E', seuls de leur espèce et doués 

 d'une symétrie de rotation d'ordre A:; 2° deux autres systèmes d'éléments 

 ou d'arêtes remarquables composés chacun, soit de quatre éléments pareils 

 doués de symétrie de rotation binaire, soit de A arêtes pareilles, douées 

 de la symétrie de retournement dont les autres éléments ou arêtes sont 

 2 A fois répétés. 



» L'entier A - peut être quelconque s'il se réduit à deux, les éléments E 

 et E' peuvent être remplacés par des arêtes à retournement. 



» Les trois autres classes dérivent des polyèdres réguliers par le procédé 

 suivant : 



» Prenons un polyèdre pareil à l'un des polyèdres réguliers : remplaçons 

 les arêtes par des lignes polygonales, ou plus généralement par des fuseaux 

 à facettes polyédriques pareils entre eux et présentant une symétrie de ro- 

 tation binaire autour d'un de leurs élériients, ou une symétrie de retour- 

 nement autour d'une de leurs arêtes; remplaçons de même les faces par des 

 calottes polyédriques pareilles entre elles et présentant autour d'un de leurs 

 éléments une symétrie par rotation dont l'ordre soit égal au nombre des 

 côtés de la face (ces calottes peuvent se réduire à de simples points); nous 

 aurons reconstitué ainsi ou les polyèdres cherchés ou leurs polaires. 



» Cette construction donne trois types différents, dont le premier se rat- 

 tache au tétraèdre, le second au cube ou à l'octaèdre, le troisième enfin au 

 dodécaèdre ou à l'icosaèdre, la substitution de l'un de ces solides à l'autre 

 revenant à substituer des sommets aux faces et réciproquement. 



» M. Jordan prouve enfin que ce mode de symétrie relatif au nombre et 



