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 eux-mêmes ni mutuellement, sans la partager en deux régions distinctes. 



» L'importance des deux paramètres m et n ressort des propositions sui- 

 vantes : 



» i° Une surface d'espèce (m, n) est m + iti fois continue (zusammen- 

 hœngenrl), en donnant à ce terme la même définition que M. Riemann 

 (Journal de M. Borcliardl, t. LIV). On doit excepter le cas où m — o ; la sur- 

 face est alors, non plus in fois, mais in -f- i fois continue. 



» 2 Tout contour tracé sur une surface d'espèce (m, n) peut être réduit 

 par une déformation progressive à une combinaison de certains contours 

 simples, en nombre m -f- an. 



» 3° Pour que deux surfaces flexibles et extensibles à volonté soient 

 applicables l'une sur l'autre, il faut et il suffit qu'elles soient de même 

 espèce. 



» 4° On a donc, dans toute surface polyédrique d'espèce (m, ?i), entre le 

 nombre F des faces, celui S des sommets, et celui A des arêtes, la rela- 

 tion 



F + S =• A -}- 2 — m — 2J2, ' 



qui n'est autre que le théorème d'Euler généralisé. 



» En posant m = o et faisant varier n, on aura les diverses espèces dé 

 polyèdres formés. 



» Les polyèdres de l'espèce (o,o) ne sont autres que ceux que j'ai 

 appelés eulériens, dans mon Mémoire sur les aspects des polyèdres. Le pro- 

 blème de la symétrie se pose d'une manière analogue dans les autres 

 espèces de polyèdres; mais les résultats obtenus sont essentiellement diffé- 

 rents d'une espèce de l'autre. 



» Prenons par exemple les polyèdres de l'espèce f o, i). (Un polyèdre pré- 

 sentant l'aspect général d'un tore appartiendrait à cette espèce.) Il résulte 

 de mon analyse que ces polyèdres peuvent offrir trois sortes différentes de 

 symétrie. 



» i° Symétrie mn-quaternaire. — Polyèdres offrant deux systèmes dis- 

 tincts de mn éléments à rotation quaternaire, et un système de a mn éléments 

 à rotation binaire (ou d'arêtes à retournement), les autres éléments étant 

 [\inn fois répétés. Les entiers m et n peuvent être quelconques, sauf cette 

 restriction, que si l'un d'eux se réduit à l'unité, l'autre se réduit à i ou i. 



» 2° Symétrie mn-binaire. — Polyèdres offrant quatre systèmes distincts 

 de mn éléments à rotation binaire (chacun de ces systèmes pouvant être rem- 

 placé par un système d'arêtes à retournement). Les autres éléments et arêtes 

 sont imn fois répétés. Les entiers m et n sont absolument quelconques. 



