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théorie DES NOMBRES. — Sur la fonction numérique qui exprime pour un 

 déterminant négatif donné le nombre des classes déformes quadratiques dont 

 un au moins des coefficients extrêmes est impair. Note de 31. Liouville. 



« 1. Je veux surtout m'occuper ici de la fonction numérique F (A) qui 

 exprime le nombre des classes de formes (binaires) quadratiques, primi- 

 tives ou non, de déterminant — k, dont un au moins des coefficients extrêmes 

 est impair. Comme ces formes sont les seules qui puissent représenter des 

 nombres impairs, je prendrai la libellé de les désigner elles-mêmes sous 

 le nom déformes impaires, et de dire en conséquence que F (A) est le 

 nombre des classes de formes quadratiques impaires, primitives ou non, de 

 déterminant — k. Je ne considérerai que des valeurs posilives de k. Ceci 

 convenu, j'entre en matière; car il serait inutile de rappeler au lecteur 

 les recberebes de M. Rronecker, du P. Joubert et de notre ingénieux et 

 profond confrère M. Hermite sur le même sujet. Leurs savants travaux sont 

 connus de tous les géomètres. Je crois avoir à mon tour ajouté beaucoup 

 de résultats nouveaux à ceux qu'ils ont obtenus, et cela sans sortir des 

 procédés purement arithmétiques, au moyeu de certaines^ormu/es générales 

 que j'ai données dans le Journal de Mathématiques et dont la démonstra- 

 tion repose sur l'Algèbre la plus simple (*). Je vais me borner, bien en- 

 tendu, à énoncer un petit nombre de théorèmes; le Mémoire complet 

 paraîtra dans un autre recueil. 



» 2. Soient m uu entier donné, impair et positif; c/. un entier positif ou 

 nul, donné aussi; i un entier impair variable qui prenne les valeurs succes- 

 sives 



i, o, j ? ..., oj, 



m étant le plus grand entier impair pour lequel on continue à avoir 



2 m — or > o ; 

 il est clair que les entiers 



« H- 2 «a 



2 m — i- 



(*) Un habile géomètre italien, M. Pinma, s'aidant de quelques indications recueillies çà 

 et là dans le Journal de Mathématiques, a donné des formules de mes cinq premiers articles, 

 et de cinq autres, dont les numéros varient de sept à onze, des démonstrations qui rem- 

 plissent les conditions que je m'étais imposées; ces démonstrations ne différent pas an 

 fond des miennes, encore inédites, et peuvent en tenir lieu, du moins quant aux formules 

 dont M. Piuma s'est occupé. 



