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 d'un faisceau de courbes. Pour que cette propriété ait lieu, il suffît d'ajou- 

 ter aux points multiples prescrits certains points doubles qui fassent avec 

 les points multiples l'équivalent du nombre maximum de points doubles 



(m — l) (m — • 2 ) . , ,. .. , . il ni 



-, cl après le principe connu, qu un point multiple d ordre r 



> ■ • r ( r - — i) • i ii 

 équivaut a — points doubles. 



» Voici l'énoncé de la proposition qui satisfait à la question, et permet 

 d'étendre aux courbes à points multiples le procédé de démonstration fondé 

 sur la correspondance de deux séries de points sur deux courbes ou sur une 

 seule : correspondance qui s'étend aussi à trois séries de points pris sur 

 trois courbes, comme il sera dit dans un autre, moment. 



» (2) Théorème. — Lorsqu'une courbe d'ordre m, U m , douée de points 

 multiples d'ordres r, r', r",.--, a, en outre, 



r(m — i)(m — 2) r(r — i) -4- r'(r' — i) + r"(r" — i) '-+-. . . 



points doubles : on détermine individuellement tous les points de. la courbe, 

 eu moyen d'un faisceau de courbes Cm — „, d ordre (m — p.), ayant des points 

 multiples d'ordres r — p, r' — p', r" — p",..., coïncidant respectivement avec 

 ceux de U m ; des points simples coïncidant avec les jioinls doubles de U ra , et 

 d'autres points simples, en nombre 



o , „ ii 2 — 12m -f- 3)fi p 2 — i2r-t-0p 

 3 m — 2 — r — r' — r" — . . . ■+- ■ — 



1 1 



p"-(2»"-n)p' p ^-( 2 r" + 0p" 



coïncidant avec des points simples de U m ; pourvu que l'on ail entre les indé- 

 terminées p., p, p', p",... Ici relation 



P :- - 3 F . - p( P - o - p'{p' - o - P "(p"- - •• + 2 = o. 



» Il faut démontrer : t° que les courbes C,,,-* forment un faisceau, 



> ■ i • in . ('" — f* ) ( m — f- ■+■ 3 ) . . r r. 



c est-a-dire qu elles ont — : ■ — î points rixes, corn nui ns; 2° que 



ces courbes coupent U,„ en ni! in — p.) — i points fixes, et dés lors en un 

 seul point variable. 



» Premièrement, la condition qu'une courbe ait, en un point donné, un 



..■ni . . . i i ■ ■ , r(r -+- i) 



pointmultiple d ordre/' équivaut a la condition de passer par - - points; 



