( >35 7 ) 

 multiples e r , e' r ' d'une courbe U m , et sont tangentes à cette courbe en deux 

 points, dont un 6 est donné. 



» Nous supposons que la courbe U„, a, indépendamment des points mul- 

 tiples e r , é,.,, d'autres points multiples ou doubles faisant avec e r et e' v , Féqui- 



i i i • ("> — ' ) ( m — 2 ) i - îii i 

 valent du nombre maximum — de points doubles; de manière 



2 ■ 



que les points de la courbe se déterminent individuellement. Cela posé : 

 » Par un point x de U,„ passe une conique (e, e', x, IV, qui coupe U,„ 

 en (a m — r — r' — 3) points u. De même, par un point u passe une co- 

 nique qui coupe U„, en pareil nombre de points x. Donc il existe 

 2(2 m — r — r' — 3) points x qui coïncident chacun avec un point u cor- 

 respondant (*). Ces points appartiennent à des coniques tangentes à U m . 

 Donc 



N(e r , eV, IV U„) = ?Jim - r - r' - 3). 



» (4) Trouver N(Z, e r , U 6 , U m ). 



» Nous introduirons immédiatement la condition Z dans le raisonne- 

 ment et dans les formules, en la représentant par les caractéristiques du 

 système 



(Z,ap. > id.)s=s(fi , ,V); d'où (Z, 1 p., B)= (£ , v ^ (**). 



» Par un point x de U m passent — coniques (Z, e, x, Us), qui coupent U,„ 

 en — (2m — r — 3) points u. Donc il existe <i!{-3.m — r — 3) points .r qui 



coïncident chacun avec un point u correspondant. Ces points appartien- 

 nent aux coniques tangentes à U,„, moins ceux qui forment des solutions 

 étrangères. Ces points sont sur les coniques infiniment aplaties du système 



(Z, e,U 6 ). Le nombre deces coniques est hx' — ~\; et elles rencontrent IJ„, 



en ln' — l\ 'm — Y— 1) points qui sont les solutions étrangères. Le nombre 

 des coniques demandées est donc 



2 in 



3) — ;/ ) (m — r — 1) = p.'[ni — 1) + - (m — r — 1). 



(*) Comptes rendus, t. LVIII, p. 1 175, leninie t; séanre du 27 juin [864- 

 (**) Comptes rendus, t. I.IX, p. 3.jç). 



C. R., 1866. \" Semestre. (T. LXII, N° 20. 



