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» (o) Trouver N(U« e ,., U 8 vr', U,„). 



» Uo er exprime que les coniques doivent passer par le point multiple e 

 d'ordre r de la courbe U,„, et être tangentes en ce pointa une des branches 

 de la courbe. U^vv -i une semblable signification. 



» Par un point x de U m passe une conique (x, U$, Uj-) qui coupe U,„ en 

 (im — /• — /•' — 3) points u. Donc il existe 2(2:72 — r — r' — 3) points x 

 qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Ces points appar- 

 tiennent aux coniques tangentes à U,„, moins ceux qui forment des solutions 

 étrangères. Ceux-ci sont les (m — r — r') points d'intersection de U m et 

 delà conique infiniment aplatie du système (9, 5')^(i, 1). On a donc 



N(Uô er , Ue'e'r', U,„) = a(im — r — r' — 3) — (m — r— r') =3m-r- /•'— 6. 



» Si r = 1 et r' = 1, on a 



N(U«,U fl -, U m ) = 3m- 8. 



» (6) Trouver (N, 2Z, U eer , U m ) ; 



» C'est-à-dire : une courbe U,„ ayant un point multiple e r , d'ordre r, 

 il s'agit de trouver le nombre des coniques qui, étant tangentes à une 

 branche de la courbe en son point multiple, touchent la courbe en un 

 autre point non déterminé, et satisfont à deux conditions quelconques iZ. 



» Nous introduirons immédiatement ces deux conditions dans le raison- 

 nement et dans les formules, en les représentant par les deux systèmes 



(aZ, 2p. ) = (ft', V), 



(aZ, ip, id.) = (v', v"). 



» Par un point x de U,„ passent des coniques (aZ, x, U«) tangentes à U 

 au point 6, c'est-à-dire à une branche de la courbe en son point multiple; 



leur nombre est -> et elles coupent U,„ en - (2m — r — 2) points u. De 

 même, par un point u de U,„ passent - coniques qui coupent U„, en 



-(iin — r — 2) points x. Donc il existe v' (2.111 — r — 2) points .r qui 



coïncident chacun avec un point u correspondant. Ces points appartiennent 

 à des coniques tangentes à U,„, moins certains points qui forment des solu- 

 tions étrangères. 



» Il existe dans le système (2 Z, 9) des coniques infiniment aplaties de deux 



sortes. Les unes, en nombre (- v' — /j.' — - v" )> ont un sommet au point 9, 



