( i36o ) 

 /•= i, de sorte que 



» Faisant successivement 2Z = ap. et 2Z= ip., id. dans la formule 

 générale, on obtient celles-ci : 



N(ap., Ufler, U m ) = 4"» — 2T— 4i 



N(i p., id., U Ser , U,„) = 6in — 21 — 8, 

 d'où s'ensuit le système 



(ip., Uecr, U m ) = (4m — 2/— 4, 6m — ar - 8), 



que nous aurons à invoquer dans une des questions suivantes (9). 



» (7) Trouver N(Z, E r , U 9 , U m ) ; 



» C'est-à-dire : trouver le nombre des coniques qui, satisfaisant aune conditionZ, 

 touchent une courbe d'ordre m en deux points, dont un, 0, est donné, et tou- 

 chent une droite E, qui est une tangente multiple d'ordre r de lu courbe. 



» Nous introduirons immédiatement la condition Z dans le raisonne- 

 ment et dans les formules, en la représentant par les caractéristiques des 

 deux systèmes élémentaires 



(Z, ap., rd.) = (fA', v'), 

 (Z, ip., ad.) = (v', v"); 



d'où se conclut le système (Z, id., 0) = (-■> — )• dont nous allons aussi 

 faire usage. 



« Par un point x de U,„ passent - coniques (Z, E, x, U fl ), tangentes à 

 la droite E, et à la courbe U au point 0. Ces coniques coupent U m en 

 - (a/H — 3) points u. De même, par un point u passent - coniques assu- 

 jetties aux mêmes conditions, et .qui coupent U,„ en -(2111 — 3) points //. 



Donc il existe v' (2111 — 3) points x qui coïncident chacun avec un point // 

 correspondant. Ces points appartiennent aux coniques tangentes à U ;n , 

 moins ceux qui peuvent former des solutions étrangères, et qu'il faut ré- 

 trancher. Il y a ici deux causes différentes qui donnent lieu à de tels 

 points : des coniques infiniment aplaties, comme dans la question précé- 

 dente, et les r points de contact de la droite E et de U,„. 



