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 Cette formule devient ici 



N(Z, E r , U e , U m ) = N(Z, . d., U fl , U,„) - »r(Z, U e , 9') 



uf I r o\ , «i — I „ 



= \L — (m 7 v H v ". 



2 \ 2 4/ 2 



On a de même la formule générale 



N(3Z, e r ,U ra ) = N(3Z, .p., U ra )-a/-N(3Z, 0). 



Des formides analogues auront lieu aussi clans les questions de contacts 

 multiples ou d'ordre supérieur (*). 



» (9) Trouver N(ip., U 9e r, aU m ). 



» Par un point x de U,„ passent des coniques (ip., U« er , x, U,„) en 

 nombre (4 /h — 2/- — 6), qui coupent U,„ chacune en (2m — r — 4) points», 

 ce qui fait (l\m — 2r — 6) (2m — r — f\) points u. Donc il existe 

 4(a//z — r — 3) (2/72 — r — 4) points .r qui coïncident chacun avec un 

 point u correspondant. Ces points appartiennent à des coniques double- 

 ment tangentes àU ;n , moins ceux qui forment des solutions étrangères. 



» 11 existe dans le système (ip., \Jg en U,„), dont les caractéristiques 

 ont été données (6), a (/« — r) coniques infiniment aplaties, qui rencon- 

 trent U,„ en a [m — r) (m — r— 1) points qu'il faut retrancher. Il reste 



4 (a /h — /• — 3) (a m — /■ — 4) — a (m — r) (m — r — 1) 

 = 2 [7///* — 6/rar — 17m -f- / ,2 -+- i3r + a4]. 



C'est le nombre des points de contact des coniques. Donc 



N (1 p., Ug,.,. , aU,„) == 7m 2 — Gmr— i*jm -+- r- 4- i3r + 24. 



(*) Ces formules générales permettent d'appliquer à des points pris sur une courbe, et à 

 des tangentes, divers théorèmes démontrés pour des points et des droites quelconques, dans 



le beau Mémoire de M. Zeulhen [Nyt Bidrag til Lœren om Systemer uf keglesnit, 



Voir Comptes rendus, t. LXII, p. 177). 



Elles m'ont été parfois fort utiles comme moyen de vérification des résultats obtenus par 

 la méthode directe que je me suis proposée ici. Du reste, dans ces questions souvent si dé- 

 licates, où l'on a à considérer les effets multiples des coniques exceptionnelles, et à recon- 

 naître ce qui advient de la coïncidence de points ou de droites qui se confondent, il est 

 bien précieux d'assurer sa marche par plus d'une démonstration, ou au moins par quelque 

 moyen de vérification. 



