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 » Pour r= i, il vient 



7 m 2 — 33 m + 38 = (m — 2) (7m — 19). 



» (10) On a vu (6 et 7) que les coniques infiniment aplaties, indépen- 

 damment des points dans lesquels elles rencontrent la courbe U,„, donnent 

 lieu à d'autres points qui appartiennent, non plus à ces quasi-coniques, mais 

 à des coniques véritables infiniment peu différentes de celles-là, et qui for- 

 ment aus^i des solutions étrangères. Jusqu'ici, une conique infiniment 

 aplatie, effective, n'a causé qu'un seul point de cette espèce. Dans la ques- 

 tion suivante, que nous prenons comme exemple, aussi simple que pos- 

 sible, une conique infiniment aplatie donnera lieu à plusieurs points ap- 

 partenant en réalité à une conique véritable, infiniment peu différente 

 de la quasi-conique. 



» (11) Trouver N(id.,U s , aU m ). 



» Par un point x de U,„ passent des coniques (1 d., x, JJe , U,«), en 

 nombre 6 (m — 2), dont chacune coupe U,„ en [im — 5) points u; ce qui 

 fait 6 (m — 2) (2 m — 5) points u. Le nombre des points x qui coïncident 

 chacun avec un point u correspondant est donc 12 (m — 2) (2m — 5); 

 ces points appartiennent aux coniques demandées, moins ceux qui forment 

 des solutions étrangères. Ceux-ci sont dus aux coniques infiniment apla- 

 ties du système (1 d., U#, U,„) = [2 (3//* — 5), (5m — 8)]. Ces coniques, 

 dont le nombre est 4 (3m — 5) — (5m — 8) = 7m — 12, sont de trois 

 sortes. i° Les unes ont un sommet en 9 et l'autre sommet en un des m points 

 d'intersection de U,„ et de la droite donnée D; ces m coniques coupent U,„ 

 en m (m — 2) points, 2 D'autres sont situées sur les (2m — 4) tangentes 

 de U,„ menées par le point Q, ont un sommet en ce point et l'autre sommet 

 sur la droite D; elles comptent pour 2 (2m — 4)» et elles coupent U,„ en 

 2 (m — 4) ('« — 3). 3° D'autres sont situées sur la tangente 0T, ont un 

 sommet sur D et l'autre sommet sur U m ; elles comptent pour 2 (m — 2), et 

 elles coupent U,„ en 2 (m — 2) (m — 3) points 



» Voilà donc déjà 



m (m — 2) + 2 (2111 — 4) (m —3) + 2 (m— 2) (m — 3) = (111—2) (7 m — 18) 



points à soustraire. 



» Il faut remarquer que les (m — 2) coniques infiniment aplaties, effec- 

 tives, situées sur la tangente ST, ont, dans le système (id., U«, U,„), des 

 coniques infiniment voisines qui ne sont plus simplement tangentes à [J,„ au 

 point : elles ont en ce point un double contact, comme nous l'avons déjà 

 vu (6 et 7), et donnent un point x coïncidant avec u. Mais, en outre, ces 



