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sont respectivement perpendiculaires à deux de ses génératrices. Nous 

 pouvons dire aussi : Lorsque des faisceaux de plans sont entraînés dans le même 

 déplacement, chacun d'eux donne lieu à un hjperboloule ; l'un des systèmes de 

 sections circulaires de tous ces liyperboloïdes est perpendiculaire à l'axe du 

 déplacement. 



» 11. Nous avons considéré d'abord des droites parallèles entre elles, 

 puis des plans parallèles à une même droite. Si l'on prend simultanément 

 dans un corps solide des droites et des plans parallèles à une même droite, 

 on aura, en vertu du théorème fondamental, une seule droite, adjointe du 

 plan à la fois perpendiculaire à toutes les lignes et à tous les plans entraînés. 

 Cette remarque est très-utile, comme nous allons le voir dans l'applica- 

 tion que je vais faire des théorèmes précédents. 



» 12. Un trièdre de grandeur invariable se déplace suivant des conditions 

 données; on demande de construire : i° les caractéristiques de ses J 'aces; 2° le 

 plan tangent en un point quelconque de la surface lieu d'une de ses arêtes; 3° la 

 tangente à la trajectoire d'un point quelconque. 



» Désignons par (A), (B), (C) les trois faces du trièdre. Pour définir son 

 déplacement, nous dirons, par exemple, que ces faces touchent trois sur- 

 faces données, deux de ces surfaces étant touchées respectivement par(A),(B) 

 en des points situés sur deux courbes [a), [b) données. 



» Appelons a, b, c les points de contact de (A), (B), (C), à un instant 

 quelconque du déplacement, avec les trois surfaces données, a et b appar- 

 tenant aux courbes (a), (b). La caractéristique de (A) est la tangente conju- 

 guée en a à la tangente de (a); de même pour (B). Appelons u et fi ces 

 deux caractéristiques, et construisons la caractéristique y de (C). 



» Les plans normaux à (A) et (B) menés par a et ]3 se coupent suivant 

 une droite L, parallèle à l'axe du déplacement. Menons la normale en c à 

 la surface qui contient ce point, et prenons la trace de cette droite sur le 

 plan normal à (B) qui contient |3. En menant de cette trace une droite M 

 parallèle à L, on a une ligne qu'il suffit de projeter sur (C) pour avoir la 

 caractéristique y de cette face. La tangente en c, au lieu [c) des points de 

 contact analogues à celui-ci, n'est autre que la tangente conjuguée de la 

 ligne que nous venons de déterminer. 



» Cherchons le plan tangent en un point quelconque cl de l'intersection D 

 des faces (A), (B) à la surface engendrée par cette ligne. La droite L, étant 

 l'adjointe du plan perpendiculaire à D, est rencontrée par les normales à la 

 surface gauche considérée. Pour avoir le plan tangent en d, il suffit donc 

 de mener par D un plan perpendiculaire au plan de d et de L. 



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