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une certaine limite <p (y) donnée explicitement par M. Jordan ; l'entier n, 

 pour certaines valeurs de N , peut dépasser toute limite ( ' ) ; 



» 2° q intégrales z de l'équation en z sont des fonctions algébriques du 

 point analytique {x, X) à N déterminations. 



» J'ai, d'autre part (/oc. cit.), indiqué un procédé pour calculer toutes 

 les intégrales algébriques d'une équation en :; qui ne prennent qu'un 

 nombre connu de valeurs. D'où cette conclusion : 



M Etant donnée une équation (i), on peut toujours (à l'aide d'un nombre 

 fini d'opérations algébriques) reconnaître si son intégrale est algébrique uu 

 ramener l'équation à une quadrature 



I -^ 



B désignant une fonction algébrique à N valeurs de (a;, X); le problème 

 revient alors à reconnaître si la différentielle B (x, X)dx s'intègre par uu 

 seul logarithme. Ce dernier cas correspond aux valeurs de N pour les- 

 quelles n peut dépasser toute limite. 



» Pour y = 2, 3 ou 4. les travaux de MM. Schwarz, F. Klein et Jordan, 

 font connaître explicitement toutes les valeurs de N et de n. Quand l'équa- 

 tion (i) est du second ordre et a ses coefficients rationnels, les résultats 

 précédents coïncident avec ceux de M. F. Klein et la méthode avec celle 

 de M. Vernier. 



)) La même méthode permet de former toutes les équations du second 

 ordre, ou du troisième, etc., dont les coefficients sont rationnels^ ou à deux va- 

 leurs, etc., qui s'intègrent algébriquement. J'ai indiqué d'ailleurs, pour ré- 

 soudre cette dernière question, une méthode plus élégante où intervien- 

 nent certains invariants, et qui généralise lu méthode de F. Klein relative 

 au second ordre (voir les Comptes rendus, mai, juin 1887). Mnis, pour re- 

 connaître si une équation donnée s'intègre algébriquement, la première mé- 

 thode est la plus brève de toutes : c'est, je crois, la première solution 

 qu'on ait donnée du problème quanil l'ordre q surpasse 2 et (y étant égal 

 à 2) quand les coefficients sont algébriques. 



)) Les considérations précédentes s'étendent à la recherche des inté- 

 grales algébriques particulières. Admettons, en effet, que l'équation (i) 

 possède seulement r intégrales algébriques distinctes (r<^q), soit 



(') Les groupes linéaires correspondants sont les analogues du groupe cyclique et 

 du groupe du dièdre qu'on rencontre pour q =1 2. 



