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y = c,y, -t- . . . -4- C;.r,.. Parmi ces intégrales, il en existe r qui vérifient 

 une équation delà forme (2) où N est inférieur à o(r). D'où ce théorème : 



» On peut toujours calculer algébriquement toutes les intégrales algébriques 

 (Tune équation (1) ou ramener le problème à reconnaître si une certaine diffé- 

 rentielle algébrique s'intégre par un seul logarithme. 



» L'énoncé subsiste si l'on assujettit seulement les intégrales à la con- 

 dition que leur dérivée logarithmique soit algébrique. 



» Au lieu d'une équation linéaire, considérons plus généralement une 

 équation d'ordre q, 



(3) j«'=F[y^-", ...,y,j.^]. 



dont l'intégrale générale est une fonction algébrique connue des q constantes 

 (les coefficients dépendant de œ d'une manière quelconque) : 



j=:/[a,,«,....,ûfy,(a?)]. 



En s'aidant de résultats plus récents que j'ai publiés sur les équations 

 différentielles (voir les Comptes rendus, janvier-février iSgS), on arrive à 

 la conclusion suivante : 



» On peut toujours algébriquement calcider toutes les intégrales algébriques 

 de (3) ou ramener leur détermination à des quadratures. 



» (Les périodes de ces quadratures sont alors assujetties à certaines 

 conditions pour que les intégrales correspondantes soient algébriques.) 



» A une équation (3), il est loisible de substituer un système différentiel 

 quelconque ou un système complet, pourvu que l'intégrale générale soit 

 toujours une fonction algébrique connue des constantes. On peut même 

 embrasser des équations plus générales encore, telles que celles qui se 

 ramènent à une équation (3) en changeant y en /(y), f étant quelconque ; 

 le type de ces dernières équations est l'équation de Kummer étudiée spé- 

 cialement par M. Goursat. 



» Enfin les considérations précédentes s'étendent en partie aux inté- 

 grales j, (a?) non algébriques mais qui n admettent qu'un nombre fini (^non 

 donné) de valeurs. Quand une équation (i) admet r intégrales distinctes 

 de cette nature, r de ces intégrales vérifient une relation de la forme (2), 

 où N est intérieur à <p(a7) et où les a sont uniformes en (a;, X); une pro- 

 position analogue s'applique aux équations (3), par exemple à l'équation de 

 Riccati. 



» La recherche des intégrales y, (.r) se ramène algébriquement à recon- 



