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 ('X,, X, >.„), on peut formera priori des équations inlégrables 'immé- 

 diatement et les possé lant. Nous considérerons 



équivalente au système 



qu'on intègre de proche en proche en se donnant les valeurs initiales de 



» Soit f{z) = O(a-r) une telle équation. On lui étend le lemme primitif 

 sans grandes modifications. 



» Une équation à caractéristiques réelles pourra toujours se mettre 

 sous la forme 



/■(=) = U(=). 



z ne contenant que des dérivées partielles jusqu'à l'ordre n — \ . 



)) On l'intègre par approximations successives, et l'application du lemme 

 conduit à un système de comparaison qui, par un changement de variables, 

 se ramène aux équations déjà considérées dans une précédente Note 

 (Comptes rendus, 3o avril). Il en résulte immédiatement : 



» Dans une région où tous les \ et les coefficients de u sont analytiques, 

 prenons un segment S (y =70); '^ existe une région 9 entourant S et telle 

 que toute intégrale déterminée par des conditions initiales analytiques sur tout 

 S soit analytique dans tout o. 



» On étend immédiatement la même propriété à un arc de courbe dont 

 la tangente en aucun point n'est une caractéristique. Il en résulte, comme 

 dans la Note déjà citée, le résultat suivant : 



« Dans la région où l'équation caractéristique a toutes ses racines réelles, 

 les intégrales analytiques ne peuvent présenter que trois sortes de lignes singu- 

 lières essentielles : 



» 1° Les lignes singulières essentielles des coefficients ; 



» 2° Les lignes le long desquelles deux racines distinctes de l'équation ca- 

 ractéristique viennent se confondre; 



» 3° Des caractéristiques. 



» La démonstration donnée fournit encore le résultat suivant : 



» Le contour du domaine dans lequel une intégrale est analytique ne 



G. R., 1894, 2' Semestre. (T. CXIX, N" 1.) ° 



